ツ آموزش ریاضیات ツ

[nice_Alice]

- دراین تاپیک کلیه مباحث مربوط به درس آنالیزعددی به طور مختصر توضیح داده شده به همراه قضیه های مهم و نکات تستی مهم که در آزمون کارشناسی ارشد مورد سوال قرار میگیرند.


به دوستانی که برای آزمون ارشد میخونند پیشنهاد میکنم بعداز مطالعه کامل این درس از منابع خودشون به این تاپیک سربزنن و خلاصه درس+ نکات کنکوری رو در اینجا مطالعه کنند.


سرفصل ها:

1- خطا

2- حل معادلات غیرخطی

3-درون یابی

4- حل عددی معادلات دیفرانسیل

5- انتگرال گیری عددی

​

 

[nice_Alice]

آنالیز عددی

آنالیز عددی



فصل اول: خطا

------------------------

منابع خطا:

- خطای نمایش داده

- خطای داده

-خطای اعمال ریاضی

-خطای روش

انواع خطا:

1-خطای مطلق: اگرa تقریبی از A باشد http://latex.codecogs.com/gif.latex?e(a)=\left | A-a \right | را خطای مطلق گوئیم.

2- خطای مطلق حدی: هر عدد بزرگتر یا مساوی

را یک خطای مطلق حدیa و آن را با

نشان میدهیم.بنابراین داریمhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?e(a)\leq e_{a}

نکته: همواره داریم: http://latex.codecogs.com/gif.latex?a-e_{a}\leq A\leq a+e_{a}

3-خطای نسبی: اگرaتقریبی از Aباشدداریم :http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta (a)=\frac{\left |A-a| \right }{\left | A\right |}

قضیه: اگرa تقریبی از A باشد همواره داریم: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta (a)\leq \frac{e(a)}{\left | \left a\right |-e_{a}}

نتیجه: اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left |a \right |\geq e_{a} یعنی

در مقایسه با http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | a \right | کوچک باشد آنگاه داریم http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta (a)\simeq \frac{e_{a}}{\left | a \right |} که به آن خطای نسبی حدیa گوئیم.

مثال) اگرaتقریبی ازBبه طوریکه

آنگاه کدام گزینه صحیح است؟

1-

2-

3-http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta (a)=\delta (b)

4- مورد1و2

جواب: داریم

بنابراین http://latex.codecogs.com/gif.latex?A=Bd , a=bd در نتیجه :


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta (a)=\frac{\left | A-a \right |}{\left | A \right |}=\frac{\left | Bd-bd \right |}{bd}=\frac{d\left | B-b \right |}{d\left | B \right |}=\frac{\left | B-b \right |}{B}=\delta (b)

 

[nice_Alice]

خطای اعمال حسابی:

خطای مطلق اعمال حسابی:

1- http://latex.codecogs.com/gif.latex?e(a+b)\leq e(a)+e(b)

2- http://latex.codecogs.com/gif.latex?e(a-b)\leq e(a)+e(b)

3- http://latex.codecogs.com/gif.latex?e(ab)\leq ae(b)+be(a)

4- http://latex.codecogs.com/gif.latex?e(\frac{a}{b})\leq \frac{ae(b)+be(a)}{b^{2}}


نکته: اگرa,b تقریبهایی از A,B و همگی اعداد مثبت باشند آنگاه:

اگروتنهااگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?(A-a), (B-b) هم علامت یا صفر باشند.


نکته: خطای مطلقAB زمانی در حد خطای مطلق A+B است که http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | A \right | , \left |B \right | کوچکتر یا مساوی یک باشند.


خطای نسبی اعمال حسابی:

1- http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta (a+b)\leq \max\left \{ \delta (a),\delta (b) \right \}

2- http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta (a-b)=\frac{e(a-b)}{\left | a-b \right |}

3- http://latex.codecogs.com/gif.latex?\delta \frac{a}{b}\leq \delta (a)+\delta (b), \delta (ab)\leq \delta (a)+\delta (b)


تذکر: بنا به فرمول2 اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | a-b \right |کوچک باشد, خطای نسبی

بزرگ میشود و

تقریب نادقیقی از

خواهد بود, لذا باید از تفریق اعداد نزدیک به هم پرهیز کرد.


مثال)برای محاسبه ی تقریبی

کدام روش بهتر است؟

1-

2-

3-

4-

بنابه تذکر فوق جواب گزینه4 می باشد.

 

[nice_Alice]

روش های تقریب:

الف)روش قطع کردن کردن:

با توجه به تعدادارقامی که میخواهیم نگه داریم و بسط اعشاری , عدد را از رقم معینی به بعد قطع میکنیم.

ب)روش گردکردن:

اگر عدد

مخالف صفر باشد گرد شده aتاn رقم اعشار بصورت زیر است:

i)اگرhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?b_{n+1}< 5 باشد عدد را از

قطع میکنیم.

ii) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?b_{n+1}> 5باشد یک واحد به

اضافه میکنیم سپس عدد را از

قطع میکنیم.

iii)اگر

باشد چناچه بعداز

عددی نباشد یا همگی صفرباشد: اگرزوج باشد مانند ii واگر فرد باشد مانند i عمل میکنیم.

وچنانچه بعد

عددی مخالف صفرباشد مثل iiعمل میکنیم.



مثال) اگر

و aاندیسiگردشده aاندیسi+1 تا i رقم اعشار باشد,

کدام است؟

گردشده

تا3رقم اعشار پس

گردشده

تا2رقم اعشار پس

گردشده

تا1رقم اعشار پس


تذکر: خطای قطع کردن2برابر خطای گردکردن است !



-پایداری روش های عددی:

- یک روش عددی را پایدار گوئیم هرگاه تغییرات کوچک در داده های ورودی موجب تغییرات کوچک در نتیجه نهایی شود.

- یک روش عددی را ناپایدار گوئیم هرگاه تغییرات کوچک در داده های ورودی موجب تغییرات بزرگی در نتیجه نهایی شود.


نکته: هرگاه خطای محاسبه خطی باشد الگوریتم بکاررفته پایدار است.

نکته: برای پایداری محاسبه جملات یک رابطه بازگشتی خطی, باید قدرمطلق ضرایب کوچکتر از یک باشد.

"پایان فصل اول"​

 

[nice_Alice]

فصل دوم: حل معادلات غیرخطی

------------------------------------

تعریف: فرض کنید

ریشه معادله

باشد و تابع g و عدد طبیعیm را بتوان یافت که

مخالف صفر بوده و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=(x-\alpha )^{m}g(x) , دراین صورت:

اگر mبرابر یک باشد

را یک ریشه ساده تابع f گوئیم و در غیراین صورت ریشه تکراری مرتبه ی m خواهیم گفت.

نکته: اگر

ریشه تکراری مرتبهmبرای معادلهf=0 باشد آنگاه

ریشه تکراری مرتبهm-k برای

است.

قضیه:

عدد

ریشه تکراری مرتبهm برای معادلهf=0 است اگروتنهااگر:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\alpha)={f}'(\alpha )=....=f^{m-1}(\alpha )=0 , f^{m}(\alpha )\neq 0

تذکر:

برای تعیین ریشه ای از یک معادله نیاز است که تقریبی از آن ریشه یا بازه کوچکی که شامل آن باشد را بیابیم.


-روش های تعیین تعداد و حدود ریشه ها:

1- رسم منحنی:
در این روش سعی میکنیم معادلهf=0 را به صورت دوتابع بنویسیم که باهم برابرند یعنی

حال چنانچه a یک ریشه تابعf باشد ,a محل تلاقی دوتابع فوق خواهد بود.


2-قضیه بولزانو-وایراشتراس:

اگر تابعfبربازه ی[a,b] پیوسته باشد و داشته باشیم http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(a)f(b)< 0 آنگاه fبر بازه (a,b) حداقل یک ریشه دارد.

که اگر تابع f بر [a,b] اکیدایکنوا باشد دراین صورت میتوان گفت دقیقا یک ریشه در[a,b] دارد.

مثال) معادله

به ترتیب چندریشه مثبت وچندریشه منفی دارد؟

1- صفر-صفر
2-یک-صفر
3-دو- یک
4-سه -صفر

جواب: داریم

لذا داریم همواره http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'> 0 درنتیجه تابع fدر سراسر Rاکیدایکنواست.
پس حداکثر یکبار میتواند محورxهارا قطع کند یعنی حداکثر دارای یک ریشه است حال چون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(0)f(1)< 0 بنا به قضیه بولزانو این ریشه در بازه

قرار دارد پس f فقط یک ریشه مثبت دارد. گزینه2

 

[nice_Alice]

- بدست آوردن ریشه های مشتق تابع :


قضیه مقدار میانگین:

اگرتابع f بر بازه بسته [a,b] پیوسته و بر بازه باز (a,b) مشتق پذیر باشد آنگاه وجود دارد http://latex.codecogs.com/gif.latex?x\epsilon (a,b) به قسمی که:

نتیجه(قضیه رول) :

اگرتابع f بر بازه[a,b] پیوسته و بر بازه(a,b) مشتقپذیر باشد به طوری که

آنگاه http://latex.codecogs.com/gif.latex?c\epsilon (a,b) به قسمی که:

قضیه رول تعمیم یافته:

فرض کنیم تابعfبربازه[a,b] پیوسته وبر(a,b) مشتقپذیرتامرتبهnباشد.

حال اگر تابعfبر بازه[a,b]دارایn+1ریشه باشد نتیجه میشود:

i)

بر (a,b)دارای nریشه است.

ii)

بر(a,b) دارای n-2رییشه است.

iii)

بربازه(a,b) دارای n-3 ریشه است.

.
.
.
و نهایتا

دارای یک ریشه خواهد بود .


نتیجه: با شرایط فوق چنانچه

دارای nریشه باشد آنگاه

دارای n+1ریشه خواهد بود.


-نکاتی درباره معادله چندجمله ای

:

یک معادله چندجمله ای درجهn به صورت

است .که در آن

ضرایب چندجمله ای و همگی حقیقی هستند.

قضیه اساسی جبر :

یک معادله چندجمله ای درجه n دارای n ریشه( حقیقی یا مختلط ) است.

قضیه: اگر عددمختلط zریشه معادله

باشد آنگاه

نیز چنین است.

نتیجه: اگر درجه چندجمله ای فرد باشد, حداقل یک ریشه حقیقی خواهد داشت.


قضیه : اگرaریشه معادله

باشد آنگاه a- ریشه معادله

است.

قضیه علامت دکارت:

الف) حدااکثرتعدادریشه های مثبت چندجمله ای P برابر تعداد تغییر علامتهای ضرایب آن است.

ب) حداکثر تعدادریشه های منفی چندجمله ای Pبرابر تعداد تغییر علامتهای ضرایب

می باشد.

مثال) تعدادریشه های منفی معادله

کدام است؟

1-صفر
2- 1
3- 2
4- 3

جواب: طبق قضیه فوق گزینه دو

 

[nice_Alice]

-حل عددی معادله غیرخطی:


به طورکل در روش های عددی برای حل معادله f=0 به صورت زیر عمل میکنیم:

1- بازه [a,b] را طوری حدس می زنیم که اولا شرایط قضیه بولزانو برقرار باشد. ثانیا f در آن دقیقا یک ریشه داشته باشد یعنی f در آن بازه اکیدایکنوا باشد.

2- دنباله

را که دنباله حاصل از روش های عددی گفته میشود را طوری می سازیم که به ریشه تابع همگرا باشد.


-معیارهای توقف روش های عددی:

در الگوریتم روش های عددی محاسبه جمله های دنباله

را تازمانی ادامه میدهیم که یکی از شرط های توقف زیر برقرارشود:

الف) برای عدد مثبت http://latex.codecogs.com/gif.latex?\epsilon > 0مفروض داده شده یکی از شرایط زیر برقرار شود:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | f(x_{n}) \right |< \epsilon , \left | x_{n}-x_{n-1} \right |< \epsilon ,\left | \frac{x_{n}-x_{n-1}}{x_{n-1}} \right |< \epsilon​

ب) خودمساله تعیین کند که تا چندگام جملات دنباله محاسبه شود.




- مرتبه همگرایی دنباله روش عددی:

اگر دنباله به عدد

همگرا باشد,مرتبه همگرایی آن برابرp است اگر عدد مثبت c موجود باشد به قسمی که داشته باشیم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left | x_{n+1}-\alpha \right |}{\left | x_{n}-\alpha \right |^{p}}=c\neq 0​

که اگر فرض کنیم http://latex.codecogs.com/gif.latex?e_{n}=x_{n}-\alpha , e_{n+1}=x_{n+1}-\alphaمیشود:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left | e_{n+1} \right |}{\left | e_{n} \right |^{p}}=c\neq 0​

نکته: هرچه مرتبه همگرایی دنباله ی روش عددی موردنظر بیش تر باشد همگرایی آن سریع تر است.


-روش های عددی حل معادلات خیرخطی:

الف) روش دوبخشی:

فرض کنیم تابع f در بازه[a,b] پیوسته باشد وشرایط قضیه بولزانو موجود باشد دراین صورت به طریق زیر عمل میکنیم:

در این روش تصمیم گیری برای انتخاب تقریب اولیه ریشه تابع f با نصف کردن بازه شروع میشود بدین صورت که:

انتخاب میشود .سه حالت اتفاق می افتد:

i) اگر

که x=cریشه مورد نظر است.

ii) اگر

باشد دراین صورت ریشه تابع در بازه ی باز (a,c) قرار دارد.

iii) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(a)f(c)> 0 باشد دراین صورت ریشه تابع در بازه ی باز (c,b) قرار دارد.


اگر هرکدام از حالتهای iiوiii رخ بدهد دوباره الگوریتم را تکرار میکنیم آن قدر که بازه مورد نظر کوچک و کوچکتر شود به ریشه معادله f=0 نزدیک شویم .

پس مراحل زیر را طی میکنیم:

گام اول- http://latex.codecogs.com/gif.latex?[a,b]=[a_{1},b_{1}] , x_{1}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}

گام دوم- http://latex.codecogs.com/gif.latex?[a_{2},b_{2}] , x_{2}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2}

.
.
.
.
واین روند ادامه دارد تا : http://latex.codecogs.com/gif.latex?[a_{n},b_{n}] , x_{n}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}

بدین ترتیب یک دنباله نظیر

تولید میشود که به ریشه تابع f همگرا ست.


قضیه: دنباله حاصل از روش دوبخشی برای حل عددی معادله f=0 بر بازه (a,b) همگرا خواهد بود.

مثال) اگر

دنباله حاصل از روش دوبخشی برای حل معادله

,

کدام است؟


جواب:

 

[nice_Alice]

--قضیه(خطای روش دوبخشی):

در روش دوبخشی اگر

تنهاریشه معادله

بربازه(a,b) باشد آنگاه داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?e_{n}=\left | x_{n}-\alpha \right |< \frac{b-a}{2^{n}}​

نکته: در روش دوبخشی اگر بخواهیم خطای روش دوبخشی کمتر از

باشد ,کافیست روش دوبخشی را nبار انجام دهیم که

http://latex.codecogs.com/gif.latex?n=\left [ \log \right_{2}(\frac{b-a}{\epsilon }) ]+1 است.​

مثال) چند تکرار از روش دوبخشی برای حل معادله

نیاز است تا خطای روش کمتر از

باشد؟

جواب: می دانیم خطای روش دوبخشی کمتراز http://latex.codecogs.com/gif.latex?e_{n}< \frac{b-a}{2^{n}} پس باید :

بنابراین دارم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{b-a}{10^{-2}}< 2^{n} \rightarrow \log _{2}\frac{b-a}{10^{-2}}< \log _{2}2^{n}=n \rightarrow n= \left [ \log _{2}\frac{b-a}{10^{-2}} \right ]+1​

از طرفی داریم :http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(1)f(2)< 0 پس [a,b]=[1,2] بنابراین:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?n=\left [ \log _{2}\frac{1}{10^{-2}} \right ]+1=\left [ \log _{2}10^{2} \right ]+1=\left [ 2\log _{2} 10\right ]+1= 2+1+\left [ 2\log _{2}5\right ]=7​

نکته: در روش دوبخشی رابطه http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | x_{n+1}-x_{n} \right |< \frac{b-a}{2^{n+1}}برقراراست.


قضیه: مرتبه همگرایی دنباله حاصل از روش دوبخشی p=1 وثابت همگراییc=0.5 می باشد.

 

[nice_Alice]

ب) روش نابجایی:

اگرتابع fبر [a,b] پیوسته باشد و http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(a)f(b)< 0 وf در (a,b) اکیدا یکنوا باشد بنابه قضیه بولزانو f در(a,b) دارای یک و فقط یک ریشه است.


درروش نابجایی برای شروع معادله پاره خط واصل بین دونقطه

را بدست آورده و نقطه ای را که این پاره خط

محورxهارا قطع میکند را به عنوان تقریبی از

ریشهf در نظر میگیریم بنابراین داریم:

و

و به طور کلی داریم در هر مرحله:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{n}=\frac{1}{f(a)-f(b)}\det \begin{bmatrix}a_{n} &f(a_{n} )\\ b_{n} &f(b_{n} ) \end{bmatrix}​

بعد از محاسبه

مانند روش دوبخشی سه حالت پیش میاد:



i)

که دراین صورت ریشه تابع f است.

ii) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(a)f(x_{1})< 0 آنگاه ریشه در بازه

است ودراین صورت

و از فرمول بالا

را محاسبه میکنیم.

iii) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(a)f(x_{1})> 0 انگاه ریشه در بازه

قرار دارد دراین صورت

و از فرمول بالا

رامحاسبه میکنیم.


قضیه: دنباله حاصل از روش نابجایی به تنها ریشه معادله بر بازه(a,b) همگرا است.



مثال) مقدار تقریبی ریشه معادله

را در نزدیکی x=1 با دوبار بکارگیری روش نابجایی تا سه رقم اعشار حساب کنید؟
جواب:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(1)=1 , f(0.5)=-0.375 , f(1)f(0.5)<0 ,(a,b)=(0.5,1)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{1}=\frac{0.5f(1)-1 f(0.5)}{f(1)-f(0.5)}=0.64 , f(0.64)f(1)< 0 \rightarrow (0.64,1)


بنابراین: http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{2}=\frac{0.64f(1)-1 f(0.64)}{f(1)-f(0.64)}=0.672






​

 

[nice_Alice]

تذکر : روش نابجایی معمولا از روش دوبخشی سریعتر است اما اگر جملات دنباله همگی در یک طرف ریشه باشند همگرایی آن میتواند کندتر از روش دوبخشی باشد.


ج) روش اصلاح شده نابجایی:

چنانچخ جملات دنباله حاصل از روش نابجایی در یک طرف ریشه قرار گیرند یعنی تابع f محدب یا مقعر باشد ؛ از روش اصلاح شده نابجایی برای همگرایی سریع تر استفاده می شود.

دو حالت زیر را داریم:
i) اگر جملات دنباله از سمتb به ریشه نزدیک شوند خطی را از

به

رسم میکنیم ودرنتیجه:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{n}=\frac{1}{f(b_{n})-\frac{1}{2}f(a_{n})}\det \begin{bmatrix}a_{n} &\frac{1}{2}f(a_{n}) \\ b_{n} &f(b_{n}) \end{bmatrix}​

ii) اگر جملات دنباله از سمت aبه ریشه نزدیک شوند خطی بین دونقطه

رسم میکنیم درنتیجه داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{n}=\frac{1}{\frac{1}{2}f(b_{n})-f(a_{n})}\det \begin{bmatrix}a_{n} & f(a_{n}) \\ b_{n} &\frac{1}{2}f(b_{n}) \end{bmatrix}​

-- تعریف نقطه ثابت تابع:

نقطه cرا نقطه ثابت تابع g گوئیم هرگاه:

د) روش تکرارساده( نقطه ثابت):

در این روش معادله

را به شکل

مینویسیم به طوری که تابعg در شرایط زیر صدق کند:

i)

تابعی مشتقپذیر بر[a,b] به توی [a,b] باشد.

ii) برای هر x از بازه بسته داشته باشیم: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | {g}' (x)\right |\leq L< 1


سپس تقریبی نه چندان دقیق از ریشه تابع f رادرنظرگرفته و دنباله حاصل از

به تنها ریشه حقیقی معادله f=0 همگرا خواهد بود.

مثال) روش تکراری

برای محاسبه ریشه معادله

به ازای کدام مقادیرx به ریشه معادله همگراست؟

جواب:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=3xe^{x}-1 \rightarrow 3x=e^{-x}\rightarrow x=\frac{e^{-x}}{3}=g(x)​

بدین منظور باید http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | {g}' (x)\right |\leq L< 1 داریم :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{g}'(x)=\frac{-e^{-x}}{3}\rightarrow \left | {g}' \right |=\left | \frac{-e^{-x}}{3} \right |< 1\rightarrow e^{-x}< 3\rightarrow x< \ln \frac{1}{3}


​

قضیه( خطای روش تکرار ساده): در روش تکرار ساده داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | x_{n}-\alpha \right |\leq L^{n}\left | x_{0}-\alpha \right |

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | x_{n}-\alpha \right |\leq \frac{L}{1-L}\left | X_{n}-x_{n-1} \right | , {g}'(x)> 0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | x_{n}-\alpha \right |\leq \frac{L}{1+L}\left | x_{n}-x_{n-1} \right | ,{g}'(x)< 0

نکته: سرعت همگرایی دنباله حاصل از روش تکرارساده با سرعت همگرایی دنباله http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left \{ L^{n} \right \} متناسب است. به این

ترتیب که هرچه L به صفر نزدیکتر باشد سرعت همگرایی بیشتر خواهد شد.

 

[nice_Alice]

قضیه (مرتبه همگرایی روش تکرار ساده):

فرض کنیم دنباله حاصل از روش تکرار ساده به

تنها ریشه معادله

همگرا باشد .دراین صورت اگر داشته باشیم که :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?g^{(k)}(\alpha )=0 , k=1,2,...p-1 و http://latex.codecogs.com/gif.latex?g^{(p)}(\alpha )\neq 0 آنگاه مرتبه همگرایی دنباله حاصل از

به ریشه برابر p خواهد بود.


مثال) اگردنباله حاصل از

به http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha =\sqrt{a} هگرا باشد؛ مرتبه همگرایی آن کدام است؟

الف)1
ب)2
ج)3
د)4

جواب: داریم:

بنابراین: http://latex.codecogs.com/gif.latex?{g}'(\sqrt{a})=0 , {g}''(\sqrt{a})=0 , g^{(3)}(\sqrt{a})\neq 0

جواب گزینه ج می باشد.


نکته : اگر دنباله حاصل از روش تکرارساده از مرتبهp باشد ثابت همگرایی برابرhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?c=\frac{1}{1\cdot 2\cdot \cdot \cdot p}\left | g^{(p)}(\alpha ) \right | است.

مثال) مرتبه همگرایی دنباله حاصل از

که به

همگراست برابر3 می باشد. حاصل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{x_{n+1}-\sqrt{2}}{(x_{n}-\sqrt{2})^{3}} \right |=c\neq 0 کدام است؟

جواب: http://latex.codecogs.com/gif.latex?c=\frac{1}{1\cdot2\cdot 3}\left | g^{(3)}(\sqrt{2}) \right |=\frac{1}{8}


تذکر: اگر در روش تکرارساده فقط بدانیم که: http://latex.codecogs.com/gif.latex?{g}'(\alpha )={g}''(\alpha )=...=g^{(k-1)}(\alpha )=0 میتوان گفت که مرتبه همگرایی دنباله

حداقل k می باشد نه دقیقا !

 

[nice_Alice]

هـ) روش

-اتیکن:

این روش برای سرعت بخشیدن به همگرایی دنباله روش تکرار ساده

می باشد. به این صورت که ابتدا

را به عنوان

تقریبی از ریشه تابع f انتخاب وباکمک دنباله حاصل از روش تکرارساده جملات http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{1} , x_{2} را بدست می آوریم حال با

استفاده از http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{0},x_{1} , x_{2} مقدار

را با فرمول روش

-اتیکن می یابیم ! حال

را به عنوان

تقریبی از ریشه تابع fدر نظرگرفته و

دوباره روند فوق را تکرار میکنیم . در هر گام داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\hat{x_{n}}=x_{n}-\frac{(\Delta x_{n})^{2}}{\Delta ^{2}x_{n}}
​

توضیح: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta x_{n}=x_{n}-x_{n-1} , \Delta ^{2}x_{n}=\Delta (\Delta x_{n})


قضیه: اگر دنباله حاصل از روش تکرارساده به صورت خطی باشد؛ دنباله حاصل از این روش دارای سرعت همگرایی سریع تری به ریشه تابع f است

و داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\hat{x_{n}}-\alpha }{x_{n}-\alpha }=0​

ح) روش نیوتن رافسون:

دستورکلی روش نیوتن رافسون برای یافتن تقریبی از ریشه تابع f به صورت:

که

تقریبی نسبتا نزدیک به ریشه تابع f می باشد.

تذکر: روش نیوتن رافسون در واقع حالت خاصی از روش تکرارساده است که در آن

می باشد.


نتیجه: به کمک روش نیوتن رافسون میتوان مقدار تقریبی

را بیان کرد بدین صورت که تابع f را به صورت

تعریف میکنیم.

ملاحظه میشود که

ریشه تابع f خواهد بود حال اگر به روش نیوتن رافسون به محاسبه تقریبی ریشه f بپردازیم در واقع تقریبی از

را خواهیم داشت !

 

[nice_Alice]

مثال) تقریبی از

ارائه دهید؟

جواب:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=x^{2}-2\rightarrow \alpha =\sqrt{2}

​

تقریب اولیه ریشه تابع را

در نظرمیگیریم داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{2}=1.416 , x_{3}=1.414215686 , x_{4}=1.414213562
​

و همانطور که ملاحظه میکنید

دقیقا عددی هست که ماشین حساب به ما میدهد !


تذکر: روش نیوتن احتیاج به یک تقریب اولیه مناسب برای

ریشه تابع f دارد ودرصورتی به ریشه همگرا ست که

به اندازه کافی به ریشه نزدیک باشد.لذا تقریب اولیه باید طوری انتخاب شود که :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\left | {{f}''(x_{0})f(x_{0})}'' \right |}{({f(x_{0})}')^{2}}< 1​

اشکالات روش نیوتن:

1- انتخاب

مناسب به عنوان تقریب اولیه از ریشه که شرط فوق را داشته باشد.

2-ممکن است

کوچک یا حتی صفر شود.

3-ممکن است جملات دنباله دارای دو مقدار ثابت شود.


-- برای اینکه مشکلات فوق بوجود نیاید بهتراست ابتدا بایکی از روش های همیشه همگرا تقریبی نزدیک به ریشه بدست آورد و آن را به عنوان تقریب اولیه قرار داده وبعد از روش نیوتن استفاده کرد !



مزیت روش نیوتن: مزیت عمده روش نیوتن در صورت همگرایی ؛ سرعت همگرایی آن می باشد.

قضیه( مرتبه همگرایی روش نیوتن):

اگر

ریشه ساده تابع f=0 باشد ودنباله http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left \{ x_{n} \right \}حاصل از روش نیوتن باشد. مرتبه همگرایی آن برابر 2 است وداریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left | e_{n+1} \right |}{\left | e_{n} \right |^{2}}=\frac{1}{2}\left | \frac{{f}''(\alpha )}{{f}'(\alpha )} \right |​

توجه: اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(\alpha )\neq 0 ,{f}''(\alpha )=0 باشد مرتبه همگرایی روش نیوتن بیش تر از 2 است.


قضیه: اگر

ریشه ساده fنباشد یعنی داشته باشیم http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(\alpha )=0 آنگاه مرتبه همگرایی روش نیوتن به یک کاهش

می یابد واگر mمرتبه تکرار ریشه باشد داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}-\alpha }{x_{n}-\alpha }=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}-x_{n-1}}=\frac{m-1}{m}=1-\frac{1}{m}​

مثال) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3} به ترتیب ریشه های تکراری مرتبه 2و3و4 برای f باشند. دنباله حاصل از روش نیوتن برای یافتن کدامیک دارای همگرایی سریعتر است ؟


جواب: بنابر قضیه فوق هرچه مرتبه ی تکرار ریشه کمتر باشد ؛همگرایی روش نیوتن برای آن سریعتر است !

 

[nice_Alice]

نکته: بااستفاده از دنباله حاصل از روش نیوتن برای nهای بزرگ میتوان بااستفاده از رابطه ی

مرتبه تکرار ریشه معادله f=0 را بدست آورد !


مثال) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha =0ریشه معادله http://latex.codecogs.com/gif.latex?x-\sin x=0باشد مرتبه تکرار آن را بیابید؟

جواب: داریم طبق روش نیوتن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{{f}'(x_{n})}=x_{n}-\frac{x_{n}-\sin x_{n}}{1-\cos x_{n}}​

بنابراین:

طبق نکته فوق برای n های بزرگ تساوی بالاراداریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{x_{7}-x_{6}}{x_{6}-x_{5}}\simeq \frac{m-1}{m}\rightarrow m\simeq 2.9985\rightarrow m=3

​

قضیه( روش تغییر یافته نیوتن ):

اگر

ریشه معادله f=0 با مرتبه تکرار m باشد روش تکراری :

را روش تغییر یافته نیوتن گویند . که در آن

به اندازه کافی به ریشه نزدیک است.

نکته:

1- مرتبه همگرایی روش تغییر یافته نیوتن حداقل برابر 2 است.

2-اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=(x-\alpha )^{m}h(x) باشد آنگاه : http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}-\alpha}{(x_{n}-\alpha )^{2}}=\frac{{h}'(\alpha)}{mh(\alpha )}

3- فرمول روش تغییر یافته نیوتن از نظر عددی "ناپایدار "است.


قضیه : اگر ریشه تکراری مرتبهm ؛ تابع f=0 باشد به ازای k=0,1,2,....m-1 روش تکراری :

در صورت همگرا بودن دارای مرتبه حداقل 2 خواهد بود .

نکته: - در فرمول فوق هرچه k بزرگتر سرعت همگرایی بیشتر است !

 

[nice_Alice]

یافتن اکسترمم تابع

به کمک روش تکراری نیوتن:

باتوجه به اینکه اگر

اکسترمم تابع f باشد آنگاه http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(\alpha )=0 پس ما باید ریشه معادله http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(x )=0را بدست آوریم. که طبق روش

نیوتن برای تابع http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(x ) فرمول زیر را خواهیم داشت:

-مرتبه همگرایی روش فوق در صورت همگراشدن به ریشه حداقل 2 می باشد .



راجع به مرتبه همگرایی روش نیوتن:


الف) به طور کل اگر

ریشه تکراری f باشد مرتبه همگرایی روش نیوتن 1 خواهد شد .

ب) اما اگر

ریشه ساده f باشد سه حالت در نظر میگیریم:

i) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(\alpha )={f}''(\alpha )\neq 0 مرتبه همگرایی دقیقا 2 است و ثابت همگرایی http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2}\left | \frac{{f}''(\alpha )}{{f}'(\alpha )} \right | است.

ii) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}''(\alpha )=0 مرتبه همگرایی بیش تر از 2 یعنی حداقل3 می باشد.

iii) و اگر فقط بدانیم که http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(\alpha )\neq 0 گوئیم مرتبه همگرایی حداقل 2 است .



و) روش عددی وتری:

در روش وتری برای حل عددی f=0 به جای

در فرمول نیوتن مقدار تقریبی آن یعنی http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}'(x_{n})\simeq \frac{f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}} را قرار

می دهیم و رابطه تکراری زیر بدست می آید:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{n+1}=\frac{1}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}\det \begin{bmatrix}x_{n-1} &f(x_{n-1}) \\ x_{n}& f(x_{n}) \end{bmatrix}​

ویژگی های روش وتری:

1-درروش وتری نیاز به تقریب اولیه

داریم.

2-دستورروش وتری از نظرعددی "ناپایدار"است.

3-روش وتری ممکن است همگرا نباشد.

4-مرتبه همگرایی روش وتری در صورت همگرا بودن برابر

می باشد.

5- روش وتری کندتر از روش نیوتن اما سریع تر از روش دوبخشی عمل میکند.


قضیه: اگر

ریشه ساده معادلهf=0 باشد و دنباله http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left \{x_{n} \right \} حاصل از روش وتری باشد آنگاه:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{e_{n+1}}{e_{n}e_{n-1}} \right |=\frac{1}{2}\left | \frac{{f}''(\alpha )}{{f}'(\alpha )} \right |

​

"پایان فصل دو"​

 

[nice_Alice]

--فصل سوم:درونیابی:

------------------------

هرگاه بدست آوردن مقدار تابع در نقطه ای دلخواه بااستفاده از ضابطه خود تابع سخت باشه ویا هرگاه ضابطه تابع به

ما داده نشده باشه و فقط چندمقدار از تابع رو داشته باشیم میتونیم بااستفاده از روش های عددی وبدست آوردن

چندجمله ای درونیاب تابع مقدار تابع را در نقطه دلخواه داده شده بطور تقریبی بدست بیاریم!

قضیه: فرض کنیم

تابعی دلخواه باشد که در نقاط

دارای مقادیر

باشد؛ دراین صورت یک چندجمله ای از درجه n مانند

وجود دارد به قسمی که:

-نتیجه: هرگاه ضابطه

را نداشته باشیم و یا محاسبه مقدار تابعf در نقطه دلخواه x مشکل باشد میتوان ضابطه

را تقریبا برابر چندجمله ای درونیاب

قرار داد یعنی :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)\simeq p(x)​

و بااستفاده از یکی از روش های درونیابی چندجمله ای درونیاب

را بدست آورد.


نکته:چندجمله ای درونیاب تابع

برای درونیابی k نقطه که

http://latex.codecogs.com/gif.latex?k\leq n با خودتابع

برابر است.

نکته:رابطه ی مشخصی بین درجه ی چندجمله ای درونیاب و تعداد نقاط گره وجود ندارد.



--روش های درونیابی:



الف) درونیابی لاگرانژ: چندجمله ای درونیاب لاگرانژ در نقاط

تابع

به صورت زیر است:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?p_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}L_{i}(x)f(x_{i}), L_{i}(x)=\prod_{j\neq i,j=0}^{n}\frac{(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}​

نکته: چندجمله ای های لاگرانژ برای n+1 نقطه دقیقا از درجه n هستند ولزوما ضریب چندجمله ای پیشرو آنها یک نیست !

 

[nice_Alice]

--خواص چندجمله ای های لاگرانژ:

• http://latex.codecogs.com/gif.latex?L_{i}(x_{j})=\delta _{i}_{j}=\left\{\begin{matrix}1,i=j \\ 0 , i\neq j \end{matrix}\right.

• 

• چندجمله ای های لاگرانژ مستقل خطی اند.

• چندجمله ای های لاگرانژ فقط به مقادیر
  
  وابسته اند وبه مقادیر
  
  بستگی ندارند.

تفاضلات تقسیم شده:

منظور ازتفاضلات تقسیم شده مرتبه اول f در نقاط

عبارت است از:

ودرحالت کلی داریم(تفاضلات تقسیم شده مرتبهn):

ب)درونیابی نیوتن( بااستفاده از تفاضلات تقسیم شده):

http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f[x_{0},x_{1}]+(x-x_{0})(x-x_{1})f[x_{0},x_{1},x_{2}]+...+ (x-x_{0})\cdot \cdot \cdot (x-x_{n-1})f[x_{0},...,x_{n}]​

مثال) اگر f یک چندجمله ای درجه3 باشد حاصل http://latex.codecogs.com/gif.latex?f[\alpha ,\beta ,\delta ] بابراست با:

1- http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2}{f}''(\alpha ,\beta ,\gamma )

2-http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{3}{f}''(\alpha ,\beta ,\gamma )

3-http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2}{f}''(\frac{\alpha ,\beta ,\gamma }{3} )

4-http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{3}{f}''(\frac{\alpha ,\beta ,\gamma }{3} )

جواب:

گزینه 3.کافی است چندجمله ای درونیاب نیوتن را برای تابع f در نقاطhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta بنویسیم وبرابر تابع f قرار دهیم؛ بادورا مشتق گیری از طرفین خواهیم داشت :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}''(x)=2f[\alpha ,\beta ,\gamma ]+(6x-2(\alpha +\beta +\gamma ))f[\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ]​

حال اگر بجای x قرار دهیم http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3} داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}''(\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3})=2f[\alpha ,\beta ,\gamma ]​

 

[nice_Alice]

نکته:

درجه چندجمله ای درونیاب در روش نیوتن برابر شماره اولین ستونی از جدول تفاضلات تقسیم شده نیوتن است که عناصر آن همگی برابرند .
توجه کنید ستون

ها شمرده نمیشوند.

ویژگی های تفاضلات تقسیم شده:

• تفاضلات تقسیم شده نگاشت خطی از توابع است.

• برای تابع
  
  داریم:
  

• اگر f چندجمله ای باشد آنگاه
  
  یک چندجمله ای n+1 متغیره بامتغیرهای
  
  می باشد.

• تفاضلات تقسیم شده یک تابع متقارن است یعنی چنانچه ترتیب نقاط عوض شود درنتیجه حاصل تغییری ایجاد نمیشود.

قضیه: اگر تابع f مشتق پذیر از مرتبه n روی بازه بسته[a,b] باشد و

نقاط متمایز در بازه [a,b] باشند آنگاه:

نقطه ای مانند c در بازه(a,b) وجود دارد که:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f[x_{0},...,x_{n}]=\frac{1}{1\cdot 2\cdot \cdot \cdot \cdot n}f^{(n)}(c)​

نتیجه: اگر نقاط یکسان باشند داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f[x_{0},...,x_{0}]=\frac{1}{1\cdot 2\cdot \cdot \cdot \cdot n}f^{(n)}(x_{0})
​

نکته: اگر داشته باشیم http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{0}< x_{1}< \cdot \cdot \cdot < x_{n} وتابع fمشتق پذیر باشد آنگاه :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial f[x_{0},...,x_{n}]}{\partial x_{i}}=f[x_{0},...,x_{i-1},x_{i},x_{i},x_{i+1},...,x_{n}]
​

مثال) اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{0}< x_{1}< x_{2} وتابع f مشتق پذیر باشد آنگاه مقدار : http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial f[x_{0},x_{1},x_{2}]}{\partial x_{1}} کدام است؟

1-

2-

3-

4-صفر

جواب: گزینه دو.



مزایای روش درونیابی نیوتن:

i) درجه چندجمله ای درونیاب را میتوان بااستفاده از جدول تفاضلات تقسیم شده نیوتن بدست آورد.

ii) با افزودن نقطه ای به تابع جدولی نیاز نیست محاسبات را تکرار کنیم بلکه میتوان ازآنها استفاده کرد.


نکته: اگر

و

چندجمله ای درونیاب آن آنگاه :

• http://latex.codecogs.com/gif.latex?p(x)=x^{n+1}-(x-x_{0})(x-x_{1})\cdot \cdot \cdot (x-x_{n})

• 

• 

 

[nice_Alice]

خطای چندجمله ای درونیاب

خطای چندجمله ای درونیاب




قضیه: ( خطای چندجمله ای درونیاب) :اگر چندجمله ای

تابع f را در نقاط

درونیابی کند آنگاه خطای درونیابی برابراست با:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?E(x)=f(x)-p(x)=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot n\cdot n+1}f^{n+1}(\eta )(x-x_{0})...(x-x_{n})​

نکته: اگر

خطای چندجمله ای درونیاب تابع fآنگاه :

بنابراین:

مثال) فرض کنیم p چندجمله ای درونیاب تابع

در نقاط

باشد. اگر

خطای چندجمله ای درونیاب

باشد؛

کدام است؟



جواب: داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?E(0)=(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 50)^{2}​

 

[nice_Alice]

قضیه(کران بالای خطا):

اگر

تابعf را در نقاط متساوی الفاصله http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{i}=a+ih , i=0,1,2...,n درونیابی کند آنگاه برای هر x در [a,b] چندجمله ای درونیاب دارای کران بالای خطا به صورت زیر است که در آن

یک کران بالای http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | f^{(n+1)}(x) \right | بر بازه [a,b] می باشد:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | E(x) \right |\leq \frac{M_{n+1}h^{n+1}}{4(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot n+1)}​

دوحالت خاص:

i) اگر

تابع f را در نقاط متساوی الفاصله

با طول گام h درونیابی کند داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | E(x) \right |\leq \frac{M_{2}h^{2}}{8}​

ii) اگر

تابع f را در 3نقطه متساوی الفاصله

با طول گام h درونیابی کند داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | E(x) \right |\leq \frac{M_{3}h^{3}}{9\sqrt{3}}​

تفاضلات پیشرو: عملگر

:

داریم برای نقاط متساوی الفاصله با طول گام h :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta f(x)=f(x+h)-f(x)​

و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta^{2} f(x)=\Delta (\Delta f(x))=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)
.
.
.

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta ^{n}f(x)=\Delta (\Delta ^{n-1}f(x))​

به کمک این تفاضلات پیشرو جدول تفاضلات پیشرو تابع f را تشکیل میدهیم وبه کمک این جدول تابع f را میتوان درونیابی کرد به صورت زیر :

ج) درونیابی پیشرو نیوتن -گریگوری:


فرض کنیم تابع f در نقاط متساوی الفاصله متمایز با طول گام h داده شده باشد و مقدار تابع f را در نقطه ای نزدیک به نقطه ی ابتدایی جدول تفاضلات پیشرو تابع f بخواهیم .دراین صورت داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=x_{0}+uh\rightarrow u=\frac{x-x_{0}}{h}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)\simeq p_{n}(x)=f(x_{0})+u\Delta f_{0}+\frac{u(u-1)}{2}\Delta ^{2}f_{0}+...+\frac{u(u-1)(u-2)...(u-n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot n}\Delta ^{n}f_{0}
​

 

[nice_Alice]

تفاضلات پسرو:عملگر

فرض کنیم تابع f و مقادیر

متناظر با نقاط متساوی الفاصله

داده شده باشد داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\triangledown f_{1}=f_{1}-f_{0}
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\triangledown f_{2}=f_{2}-f_{1}​

.
.
.

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\triangledown f_{n}=f_{n}-f_{n-1}​

و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\triangledown^{2} f_{n}=\triangledown (\triangledown f_{n})=f_{n}-2f_{n-1}+f_{n-2}​

-درونیابی پس رو نیوتن گریگوری( بااستفاده از جدول تفاضلات پسرو) :

فرض کنیم که تابع f مقادیرش در نقاط متساوی الفاصله داده شده است. اکنون میخواهیم تابع f را در نقطه ی دلخواه x که نقطه ای نزدیک به نقاط انتهایی جدول تفاضلات پس رو تابع fست را حساب کنیم داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=x_{n}+uh , u=\frac{x-x_{n}}{h}
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=p_{n}(x)=f_{n}+u\triangledown f_{n}+\frac{u(u+1)}{2}\triangledown ^{2}f_{n}+...+\frac{u(u+1)(u+2)...(u+n-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot n}\triangledown ^{n}f_{n}​

ویژگی های عملگرهای تفاضلی:


i) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta (f(x)g(x))=f(x+h)\Delta g(x)+g(x)\Delta f(x)


ii) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\triangledown (f(x)g(x))=f(x-h)\triangledown g(x)+g(x)\triangledown f(x)


iii) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta (\frac{f}{g})=\frac{g(x)\Delta f(x)-f(x)\Delta g(x)}{g(x)g(x+h)}


iv)http://latex.codecogs.com/gif.latex?\triangledown (\frac{f}{g})=\frac{g(x)\triangledown f(x)-f(x)\triangledown g(x)}{g(x)g(x-h)}

قضیه:

نقاط متساوی الفاصله

با طول گام h در بازه [a,b] داریم:
اولا: http://latex.codecogs.com/gif.latex?f[x_{0},x_{1},...,x_{k}]=\frac{\Delta ^{k}f_{0}}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot k)h^{k}}

دوما: http://latex.codecogs.com/gif.latex?f[x_{n},x_{n-1},...,x_{n-k}]=\frac{\Delta ^{k}f_{n}}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot k)h^{k}}


نکته:

برای تابع

داریم: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta ^{n}f_{i}=(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot n)h^{n} که h طول گام باشد و برای m>n داریم: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Delta ^{m}f_{i}=0

"پایان فصل سه"​

 

[nice_Alice]

فصل چهـــــارم : حل عددی معادلات دیفرانسیل

-----------------------------------------------------

-دراین فصل حل عددی مساله بامقدار اولیه به شکل کلی

را بررسی میکنیم .

-نقاط متساوی الفاصله با طول گام h فرض میشوند.


1- روش تیلور :

فرض کنیم مساله مقدار اولیه

داده شده باشد ؛دستور کلی روش تیلور مرتبه k با طول گام h

برابراست با :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_{n+1}=y_{n}+h{y_{n}}'+\frac{h^{2}}{2}{y_{n}}''+...+\frac{h^{k}}{1\cdot 2\cdot \cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot k} y_{n}^{(k)}​

مثال) حل عددی معادله روبرو با تیلور مرتبه سه ؟

http://latex.codecogs.com/gif.latex?{y}'=x+y , y(0)=1
جواب: k=3 داریم: http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_{1}=y_{0}+h{y_{0}}'+\frac{h^{2}}{2}{y_{0}}''+\frac{h^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}y_{0}^{(3)}=1.11​

2-روش اویلر :

دستور کلی روش اویلر برای حل مساله مقداراولیه

به صورت :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_{n+1}=y_{n}+h f(x_{n},y_{n})​

نکته: -روش اویلر از نظرعددی "ناپایدار" است.

درواقع روش اویلر همان روش تیلور مرتبه اول است.


3--روش رانگ کوتای مرتبه دوم(روش همیون) :

دستور کلی آن ربای حل مساله مقداراولیه به صورت:

​

مثال) مساله مقداراولیه http://latex.codecogs.com/gif.latex?{y}'=y+x^{2} , y(0)=1 ,h=0.1در نظربگیرید به روش رانگ کوتای مرتبه دو ؛

را حساب کنید؟

جواب: http://latex.codecogs.com/gif.latex?k_{1}=0.1, k_{2}=0.111

​

 

[nice_Alice]

-روش رانگ کوتای مرتبه سه :

دستورکلی:

​

-روش رانگ کوتای مرتبه چهـــــــار:

دستور کلی:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?k_{3}=h f(x_{n}+\frac{h}{2},y_{n}+\frac{k_{2}}{2})

http://latex.codecogs.com/gif.latex?k_{4}=h f(x_{n}+h,y_{n}+k_{3})

مثال) مساله مقداراولیه http://latex.codecogs.com/gif.latex?{y}'=x+y, y(0)=1 را در نظربگیرید به ازای h=0.1 مقدار تقریبی

را بیابید؟


جواب: http://latex.codecogs.com/gif.latex?k_{1}= 0.1 , k_{2}=0.11 , k_{3}=0.11050, k_{4}=0.12105


بنابراین :

- روش آدامز بشفورث مرتبه دوم:

دستورکلی:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}(3F_{n}-F_{n+1}) , T(h)=\frac{5}{12}h^{2}y^{(3)}(\eta )

-روش آدامس بشفورث مرتبه سوم:

دستور کلی:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{12}(23F_{n}-16F_{n-1}+5F_{n-2}) , T(h)=\frac{3}{8}h^{3}y^{(4)}(\eta )


-زوش آدامس بشفورث مرتبه چهار:

دستورکلی:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{24}(55F_{n}-59F_{n-1}+37F_{n-2}-9F_{n-3}) , T(h)=\frac{251}{720}h^{4}y^{(5)}(\eta )


- روش میلن:

دستورکلی:

نکته:

-دراین روش ها منظور از

است.

-در روش های آدامز بشفورث مجموع ضرایب

ها برابر h است.

- در روش میلن مجموع

ها برابر 4h است.

"پایان فصل چهارم"

​

 

[nice_Alice]

--فصل پنجم: انتگرال گیــــــری عددی

------------------------------------------

-اساس کار برای تقریب

به صورت مجموع

است که درآن ممکن است

ها و

ها مجهول باشند؛

بنابراین این تقریب2n+2 مجهول خواهد داشت.


به طور کلی: برای بدست آوردن مقادیر

ها و

ها در صورت مجهول بودن ؛ تابع

را به ترتیب برابر:

قرار میدهیم که k برابر تعداد مجهولات است.

بدین ترتیب یک دستگاه معادلات با k معادله و k مجهول بدست میاد که با حل آن مقادیر مجهول مشخص خواهد شد.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

تعاریف:

تعریف1: هرگاه فرمول برای همه چندجمله ای های تادرجه ی حداکثر n دقیق باشد گوییم درجه دقت فرمول n است.

نکته: معمولا درجه دقت فرمول یک واحد کمتر از مرتبه مشتق موجود در رابطه خطا است.

مثال: اگر e خطای فرمول انتگرالگیری مضربی از http://latex.codecogs.com/gif.latex?f^{(1398)}(\eta ) باشد ؛ درجه دقت فرمول کدام است؟

1)1388
2)1389
3)1390
4)694

بنابه نکته فوق جواب گزینه یک می باشد.

تعریف2: " فرمول های باز وبسته"

اگر در فرمول انتگرال گیری عددی از هر دو نقطه ابتداوانتهایی aو b استفاده شود فرمول"بسته" است.

و اگر حداقل یکی از دونقطه a ویاb استفاده نشود فرمول" باز " است.



--فرمولهای بسته ی نیوتن کوتس:

-مشخصات و ویژگی های فرمول های بسته نیوتن کوتس عبارت است از:

الف) در فرمول n+1نقطه ای نیوتن کوتس از n+1 نقطه ی هم فاصله ی http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{i}=x_{0}+ih , i=0,1,...,n استفاده میشود که در آن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{0}=a , h=\frac{b-a}{n} است.

ب) در این روش تنهاضریب

ها مجهول هستند که برای مشخص کردن آنها با یک دستگاهn+1 معادله و n+1 کجهول مواجه ایم.



ج)خطای روش نیوتن کوتس n+1 نقطه ای متناسب است با

که درآن برای n های فرد: k=n+2 وبرای n های زوج:k=n+3 است. پس k عددی فرد است.


د) در فرمول های نیوتن کوتس ؛ضرایب جملات متساوی البعد از طرفین برابرند.


مثال)در فرمول1389نقطه ای نیوتن کوتس خطا متناسب است با:

1)

2)

3)http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{Magenta} h^{1391}}

4)

جواب: گزینه سه؛ داریم n+1=1389 پس د=1388 و چون n زوج است پس k=n+3 یعنی k=1391


نکته مهم: در یک فرمول n+1 نقطه ای نیوتن کوتس داریم:http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}f(x)dx\simeq \sum_{i=0}^{n}w_{k}f_{k} حال برای

این فرمول دقیق است


یعنی http://latex.codecogs.com/gif.latex?(b-a)=\int_{a}^{b} 1 dx=\sum_{i=0}^{n}w_{k}\times 1 پس در فرمول نیوتن کوتس مجموع وزن ها=طول بازه انتگرال گیری می باشد!

 

[nice_Alice]

--فرمول های بسته نیوتن کوتس حالات خاص:

الف) ذوزنقه ای ساده:

دراین فرمول n=1 است و داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x)dx\simeq \frac{h}{2}(f_{i}+f_{i+1})-\frac{h^{3}}{12}{f}''(\eta )
​

ب) فرمول سیمپسون ساده: در این فرمول n=2 است و داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{x_{i}}^{x_{i+2}}f(x)dx\simeq \frac{h}{3}(f_{i}+4f_{i+1}+f_{i+2})-\frac{h^{5}}{90}f^{(4)}(\eta )

​

ج)فرمول

سیمپسون ساده:


دراین فرمولn=3است و داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{x_{i}}^{x_{i+3}}f(x)dx\simeq \frac{3h}{8}(f_{i}+3f_{i+1}+3f_{i+2}+f_{i+3})-\frac{3h^{5}}{80}f^{(4)}(\eta )

​

--دستورهای بسته مرکب نیوتن کوتس حالات خاص:


د) فرمول ذوزنقه ای مرکب:


آنرا با

و خطای آن را با

نشان میدهیم داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{h}{2}(f_{0}+2f_{1}+2f_{2}+....+2f_{n-1}+f_{n})-\frac{(b-a)h^{2}}{12}{f}''(\eta )​

و) فرمول سیمپسون مرکب:


آنرا با

و خطای آن را با

نشان میدهیم و در آنn=2k زوج است:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?Es(h)=-\frac{(b-a)}{180}h^{4}f^{(4)}(\eta )​

هـ) فرمول

سیمپسون مرکب:

آنرا با

و خطای آن را با

نشان میدهیم و درآن n=3k است:

و داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?Es_{\frac{3}{8}}(h)=-\frac{(b-a)}{80}h^{4}f^{(4)}(\eta )
​

 

[nice_Alice]

--نکته:

- روش ذوزنقه ای مرکب برای چندجمله ای های حداکثردرجه یک دقیق است.

-روش سیمپسون مرکب برای چندجمله ای های حداکثر درجه سه دقیق است.

-روش

سیمپسون مرکب برای چندجمله ای های حداکثر درجه سه دقیق است.

-روش های مرکب نیوتن کوتس برای تابع های فرد بر بازه های متقارن دقیق هستند!


- کرا ن بالا خطا در روش های مرکب نیوتن کوتس:

الف) در روش ذوزنقه ای مرکب اگر

کران بالای مشتق مرتبه ی دوم f بر بازه ی (a,b) باشد داریم:

اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | T(h) \right |< \epsilonباشد آنگاه: http://latex.codecogs.com/gif.latex?h\leq \sqrt{\frac{12\epsilon }{(b-a)M_{2}}} و درنتیجه http://latex.codecogs.com/gif.latex?n\geq \sqrt{\frac{(b-a)^{3}M_{2}}{12\epsilon }} است.


ب) در روش سیمپسون مرکب اگر

کران بالای مشتق مرتبه ی چهارم f بر بازه(a,b) باشد داریم:


اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | s(h) \right |< \epsilonباشد آنگاه :http://latex.codecogs.com/gif.latex?h\leq \sqrt[4]{\frac{180\epsilon }{(b-a)M_{4}}} و درنتیجه: http://latex.codecogs.com/gif.latex?n\geq \sqrt[4]{\frac{(b-a)^{5}M_{4}}{180\epsilon }} والبته n عددی زوج است!



ج)در روش

سیمپسون مرکب اگر

کران بالای مشتق مرتبه چهارم f بر بازه (a,b) باشد داریم:

اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | s_{\frac{3}{8}}(h) \right |< \epsilonباشد آنگاه: http://latex.codecogs.com/gif.latex?h\leq \sqrt[4]{\frac{80\epsilon }{(b-a)M_{4}}} در نتیجه: http://latex.codecogs.com/gif.latex?n\geq \sqrt[4]{\frac{(b-a)^{5}M_{4}}{80\epsilon }} و البته مضربی از3 است.




-فرمول باز نیوتن کوتس حالت خاص:


-فرمول نقطه ی میانی:

-فرمول نقطه ی میانی مرکب: آن را با

و خطای آن را با

نشان داده و داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}f(x)dx\simeq h(f(x_{0}+\frac{h}{2})+f(x_{1}+\frac{h}{2})+...+f(x_{n}+\frac{h}{2}))

http://latex.codecogs.com/gif.latex?EM(h)=\frac{b-a}{24}h^{2}{f}''(\eta )=o(h^{2})​

 

[nice_Alice]

نکته: کران بالای خطا در روش نقطه میانی مرکب:

اگر

کران بالای مشتق مرتبه دوم f بر بازه ی (a,b) باشد.اگر بخواهیم http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left | EM(h) \right |< \epsilon آنگاه باید :


http://latex.codecogs.com/gif.latex?h\leq \sqrt{\frac{24\epsilon }{(b-a)M_{2}}} و در نتیجه باید http://latex.codecogs.com/gif.latex?n\geq \sqrt{\frac{(b-a)^{3}M_{2}}{24\epsilon }} باشد.


مثال) اگر بخواهیم تقریبی از

به روش نقطه میانی بدست آوریم که خطای آن کمتر از

باشد. n حداقل کدام است؟

الف) 14

ب)15

ج)16

د)17

جواب: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\max \left | {f}'' (x)\right |=6e طبق نکته فوق بعداز محاسبات داریم http://latex.codecogs.com/gif.latex?n\geq 2^{4}=16 بنابراین جواب گزینه ی ج خواهد بود !



ویژگی های روش نقطه میانی:

-این روش برای چندجمله ای های حداکثر از درجه یک دقیق است.

- از روش ذوزنقه ای بهتر است چون خطای آن نصف روش ذوزنقه ای می باشد.

-برای انتگرال توابعی که در نقاط ابتدایی یا انتهایی نامعین هستند این روش بکار میرود.



نکته: فرض کنیم

:



الف) اگر

بر بازه ی [a,b] نامنفی باشد آنگاه :http://latex.codecogs.com/gif.latex?M(h)\leq I\leq T(h)

ب) اگر

بر بازه [a,b] نامثبت باشد آنگاه : http://latex.codecogs.com/gif.latex?T(h)\leq I\leq M(h)


نکته:


اگر

بر بازه [a,b] دارای علامت مثبت باشد آنگاه:

و

تقریب های بهتری نسبت به روش ذوزنقه ای و میانی اند.


-البته دقت تقریب

بهتر از

است !

 

[nice_Alice]

مثال) کدام تقریب برای محاسبه ی انتگرال

بهتر است؟

الف)

ب)

ج)

د)

جواب: داریم

که در بازه ی [0,1] داریم: http://latex.codecogs.com/gif.latex?{f}''(x)=2e^{x^{2}}+4x^{2}e^{x^{2}}> 0 بنابه نکته فوق گزینه د صحیح است !



-انتگرال گیری به روش رامبرگ:

این روش براساس روش ذوزنقه ای و برونیابی ریچاردسون است که در آن با استفاده از دوتقریبی که برای یک انتگرال موجوداست ؛میتوان تقریب بهتری برای آن بدست آورد.

-اساس کار برحسب آرایه ی رامبرگ می باشد:

-آرایه ی رامبرگ:

آرایه ی رامبرگ یک آرایه ی مثلثی به صورت زیراست که در واقع هر درایه ی آن تقریبی برای انتگرال

می باشد:

• ستون اول: تقریب های ذوزنقه ای هستند که در آنها بازه [a,b] به ترتیب به 1و2و4و8و...بخش افراز شده اند.

• ستون های دیگر بااستفاده از ستونهای قبلی با دستور کلی زیر بدست می آیند:

-خطای تقریب های واقع بر ستون j ام متناسب است با

وبرای چندجمله ای های تادرجه 2j-1 دقیق است.

-درتعیین مقدارتقریبی انتگرال به روش رامبرگ بهتر است که آرایه ی رامبرگ را سطر به سطر تولید کنیم.
که اگر به ازای

مثبت مفروضی قدر مطلق تفاضل دومقدارِ تقریبی از

کمترباشد محاسبات را پایان دهیم و آخرین تقریب ؛ تقریب مناسبی می باشد.

نکته: برای محاسبه ی درایه (i,j) از آرایه ی رامبرگ نیاز به محاسبه ی

درایه از آن ر ا داریم .

نکته:

در آرایه ی رامبرگ داریم:

--انتگرال گیری عددی به روش گاوس:

دراین روش نقاط

همگی مجهول هستند و داریم: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}f(x)dx\simeq \sum_{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})


-فرمول روش گاوس برای بازه [-1,1] بدست می آید.بنابراین اگر بازه انتگرال گیری [a,b] باشد بااستفاده از تغییرمتغیر

بازه انتگرال گیری را به [-1,1] تبدیل میکنیم وداریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{(b-a)}{2}\int_{-1}^{1}\varphi (t)dt, \varphi(t)=f(\frac{(b-a)}{2}t+\frac{b+a}{2})​

 

[nice_Alice]

http://www.www.www.iran-eng.ir/images/icons/icon3.gif نکات:

-اگرn فرد باشد تعداد گره ها یعنی n+1 زوج است و داریم :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?w_{i}=w_{n-i} , x_{n-i}=-x_{i}, i=0,1,2,...,\frac{n-1}{2}​

-اگر nزوج باشد ؛ تعداد گره های n+1 فرد است و داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?w_{i}=w_{n-i} , x_{n-i}=-x_{i},x_{_{\frac{n}{2}}}=0, i=0,1,2,...,\frac{n-1}{2}​

-وزن های

در فرمول گاوس بااستفاده از رابطه زیر بدست می آید:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?w_{i}=\int_{-1}^{1}L_{i}(x), i=0,1,...,n​

مثال) اگر

نقاط گره در فرمول انتگرال گیری باشند داریم:

مثال) اگر

وزن هادر فرمول انتگرای گیری گاوس باشند داریم:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?w_{0}+w_{1}...+w_{n}=\int_{-1}^{1}L_{0}(x)+...+L_{n}(x)dx=\int_{-1}^{1} 1 dx=2​

حالتهای خاص فرمول گاوس:

الف) فرمول یک نقطه ای گاوس:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{-1}^{1}f(x)dx\simeq 2f(0)​

ب) فرمول دونقطه ای گاوس:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{-1}^{1}f(x)dx\simeq f(-\frac{\sqrt{3}}{3})+f(\frac{\sqrt{3}}{3})​

ج) فرمول سه نقطه ای گاوس:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{-1}^{1}f(x)dx\simeq \frac{5}{9}f(-\frac{\sqrt{3}}{5})+\frac{8}{9}f(0)+\frac{5}{9}f(\frac{\sqrt{3}}{5})​

http://www.www.www.iran-eng.ir/images/icons/icon13.gif تذکر:

در روش انتگرال گیری عددی گاوس 2n+2 مجهول داریم و فرمول انتگرای گیری گاوس برای چندجمله ای های تا درجه 2n+1 دقیق است .


http://www.www.www.iran-eng.ir/images/icons/icon3.gif نکته: فرمول های گاوس برای توابع فرد دقیق اند !


مثال) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{-1}^{1}\ln \frac{1-x}{1+x}dx با استفاده از روش سه نقطه ای گاوس کدام است؟

الف) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}

ب) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{4}\ln \frac{3}{5}

ج) صفر

د) -1


جواب: تابع تابعی فرد است و انتگرال آن بر روی بازه متقادن صفر میشود حال چون فرمول گاوس برای تابع فرد دقیق است پی از این روش نیز دقیقا صفر خواهد بود !


-انتگرال گیری عددی به روش ذوزنقه ای اصلاح شده:

الف) روش ذوزنقه ای اصلاح شده ساده:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x)dx= \frac{h}{2}(f_{i}+f_{i+1})+\frac{h^{2}}{12}({f_{i}}'-{f_{i+1}}')+o(h^{5})​

ب)روش ذوزنقه ای اصلاح شده مرکب:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}f(x)dx=T(h)+\frac{h^{2}}{12}({f}'(a)-{f}'(b))-\frac{h^{4}}{720}f^{(4)}(\eta )​

 

[nice_Alice]

http://www.www.www.iran-eng.ir/images/icons/icon3.gif نکته:
فرض کنید h=b-a و

مقادیر ثابتی که مخالف صفر باشند و فرض کنید http://latex.codecogs.com/gif.latex?F_{1}(h), F_{2}(h) دو روش محاسبه تقریبی داریم:

در این صورت اگر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha =\frac{-c_{2}}{c_{1}-c_{2}} , \beta =\frac{c_{_{1}}}{c_{1}-c_{_{2}}} داریم: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha F_{1}(h)+\beta F_{2}(h) تقریب بهتری برای انتگرال خواهد بود !

"پایـــــــــان" ​