Kruger
عضو جدید
[h=2][/h]
ریشه‌یابی معادلات روش‌های یافتن ریشه‌های یک معادله ( The roots of an equation ) یعنی نقاط تلاقی نمودار آن معادله با محورهای مختصات می‌باشد. به طور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف می‌کنند، ریشه‌های یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور xها در نظر می‌گیرند.
برای مثال ریشه‌های معادله ی فرضی axn + bxn − 1 + cxn − 2 + .... + C = y نسبت به محور xها در واقع مجموعه‌ای از نقاط اشتراک نمودار معادله با محور xها می‌باشد و چون آن نقاط بر روی محور xها واقع می‌باشند یعنی دارای عرض صفر هستند ، بدین منظور باید مقدار x را در معادله ای که عرض ( y ) آن صفر است درآوریم.
حل معادله درجهٔ اول
برای پیدا کردن ریشه‌های x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجهٔ اول برابر y2 − y1 = mx می‌باشد که در آن y2 عرض اصلی ، y1 عرض اولیه ، m شیب نمودار و x متغیر طول نمودار می‌باشد ، همچنین در اکثر منابع شکل اصلی معادلات درجهٔ اول به صورت y = mx + h نمایش داده می‌شود که در آن h همان عرض اولیه است که به اختصار از کلمهٔ height استفاده می‌شود
روش حل معادلات درجهٔ اول بدین گونه است :
چون می خواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور x ها را پیدا کنیم عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم و داریم :
mx + h = 0
با حل معادله ی فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست می آوریم :
mx = − h
و می بینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن. بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشهٔ معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت.
حل معادلات درجهٔ دوم
همانند حل معادلات درجهٔ اول برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور x ها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم ، پس داریم :
ax2 + bx + c = 0
با حل معادله ی فوق مقادیر x را بدست می آوریم ، توجه کنید که a برابر با صفر نمی‌تواند باشد چون در این صورت معادله از نوع درجه اول می‌شود. پس با شرط a≠0 معادله را حل می کنیم :
اگر ضرب چند عبارت برابر با صفر باشد پس حداقل یکی از آن ها صفر است ، از آنجا که a بنا بر شرط اولیه نمی‌تواند صفر باشد پس عبارت داخل پرانتر صفر می‌باشد ، پس داریم :
برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می کنیم :
حالا از طرفین معادله جذر می گیریم تا مقدار x را درآوریم :
در نتیجه معادله دارای 2 ریشهٔ زیر می‌باشد:
معمولاً عبارت
را برابر با حرف دلتای بزرگ Δ نمایش می‌دهند، دلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است.
طبق قضیهٔ تثلیث دلتا می‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند :
1 - Δ > 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است ، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد
2 - Δ = 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است ، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد
3 - Δ < 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه عددی منفی است و همانطور که می دانید فاصله عددی منفی نمی‌تواند باشد ، از سوی دیگر از آنجا که Δ در زیر رادیکالی با فرجهٔ زوج است تنها می‌تواند مقادیر بزرگ‌تر یا مساوی صفر را اختیار کند.
برای مثال ریشه‌های معادله ی فرضی axn + bxn − 1 + cxn − 2 + .... + C = y نسبت به محور xها در واقع مجموعه‌ای از نقاط اشتراک نمودار معادله با محور xها می‌باشد و چون آن نقاط بر روی محور xها واقع می‌باشند یعنی دارای عرض صفر هستند ، بدین منظور باید مقدار x را در معادله ای که عرض ( y ) آن صفر است درآوریم.
حل معادله درجهٔ اول
برای پیدا کردن ریشه‌های x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجهٔ اول برابر y2 − y1 = mx می‌باشد که در آن y2 عرض اصلی ، y1 عرض اولیه ، m شیب نمودار و x متغیر طول نمودار می‌باشد ، همچنین در اکثر منابع شکل اصلی معادلات درجهٔ اول به صورت y = mx + h نمایش داده می‌شود که در آن h همان عرض اولیه است که به اختصار از کلمهٔ height استفاده می‌شود
روش حل معادلات درجهٔ اول بدین گونه است :
چون می خواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور x ها را پیدا کنیم عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم و داریم :
mx + h = 0
با حل معادله ی فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست می آوریم :
mx = − h
و می بینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن. بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشهٔ معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت.
حل معادلات درجهٔ دوم
همانند حل معادلات درجهٔ اول برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور x ها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم ، پس داریم :
ax2 + bx + c = 0
با حل معادله ی فوق مقادیر x را بدست می آوریم ، توجه کنید که a برابر با صفر نمی‌تواند باشد چون در این صورت معادله از نوع درجه اول می‌شود. پس با شرط a≠0 معادله را حل می کنیم :
اگر ضرب چند عبارت برابر با صفر باشد پس حداقل یکی از آن ها صفر است ، از آنجا که a بنا بر شرط اولیه نمی‌تواند صفر باشد پس عبارت داخل پرانتر صفر می‌باشد ، پس داریم :
برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می کنیم :
حالا از طرفین معادله جذر می گیریم تا مقدار x را درآوریم :
در نتیجه معادله دارای 2 ریشهٔ زیر می‌باشد:
معمولاً عبارت
طبق قضیهٔ تثلیث دلتا می‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند :
1 - Δ > 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است ، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد
2 - Δ = 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است ، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد
3 - Δ < 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه عددی منفی است و همانطور که می دانید فاصله عددی منفی نمی‌تواند باشد ، از سوی دیگر از آنجا که Δ در زیر رادیکالی با فرجهٔ زوج است تنها می‌تواند مقادیر بزرگ‌تر یا مساوی صفر را اختیار کند.
