خب
حالا که معادله موج که یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم هست رو بدست آوردیم، باید چیکار کنیم؟
مشخصه دیگه باید بریم به سراغ حل معادله، اینجا اون چیزایی که تو درس معادلات دیفرانسیل بهتون یاد دادن، که حل ریاضی معادلات هست به کمکتون میاد اونایی که معادلات دیفرانسیل هنوز یادشونه با دیدن شکل معادله میتونن حدس بزنن که جواب عمومی این معادله به شکل زیر میشه :
خب حالا باید چیکار کنیم به نظرتون؟
معادله موج که بدست اومد، جواب عمومی هم که براش پیدا کردیم، حالا بخوایم به سمت گام ها بریم نیاز به چی داریم؟ اصلا خود تعریف گام چی بود؟
گام به نوعی طبقه بندی نواک ها میگیم و نواک ها عملا همون هارمونیک های ساده مون هستن، هارمونیک ساده چی بود؟ یادتون میاد؟ یا نخونده یادتون رفت؟ هارمونیک ساده به همون فرکانس اصلی یا (ω/2π) میگفتیم خب حالا ما تو این جواب عام معادله آیا ω میبینیم؟ خیر
اما! ما میدونیم که امواجی که منتشر میشن، فاز 2π رو تو زمان مشخصی طی میکنن و این ω عملا برابر 2πΤ هست که T اینجا پریود زمانی مون هست که میشه توسط اوسیلوسکوپ بدستش آورد
پس ما اینجا در نهایت برای بدست آوردن هارمونیک های ساده و فرکانس های اصلی مون که همون نواک هامون میشن نیاز داریم رابطه ای بر حسب x,t بدست بیاریم، که به شکل زیر بدست میان
با بدست آوردن جواب هارمونیک ساده مون عملا یک گام دیگه به خود گام موسیقی نزدیک شدیم
اما برای اینکه بتونیم معادلات مون رو به جواب مشخص برسونیم نیاز داریم همونطور که قبلا گفتم ببریمش به فضای مختلط، چون اونجا میتونیم این ترکیب سینوس و کو سینوس ها رو با استفاده از معادله اویلر کمی ساده تر کنیم و تو حلش از ترفند کارآمد تری استفاده کنیم پس نتایج بدست اومده رو به شکل مختلط تبدیل میکنیم
حالا که معادله موج که یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم هست رو بدست آوردیم، باید چیکار کنیم؟
مشخصه دیگه باید بریم به سراغ حل معادله، اینجا اون چیزایی که تو درس معادلات دیفرانسیل بهتون یاد دادن، که حل ریاضی معادلات هست به کمکتون میاد اونایی که معادلات دیفرانسیل هنوز یادشونه با دیدن شکل معادله میتونن حدس بزنن که جواب عمومی این معادله به شکل زیر میشه :
خب حالا باید چیکار کنیم به نظرتون؟
معادله موج که بدست اومد، جواب عمومی هم که براش پیدا کردیم، حالا بخوایم به سمت گام ها بریم نیاز به چی داریم؟ اصلا خود تعریف گام چی بود؟
گام به نوعی طبقه بندی نواک ها میگیم و نواک ها عملا همون هارمونیک های ساده مون هستن، هارمونیک ساده چی بود؟ یادتون میاد؟ یا نخونده یادتون رفت؟ هارمونیک ساده به همون فرکانس اصلی یا (ω/2π) میگفتیم خب حالا ما تو این جواب عام معادله آیا ω میبینیم؟ خیر
اما! ما میدونیم که امواجی که منتشر میشن، فاز 2π رو تو زمان مشخصی طی میکنن و این ω عملا برابر 2πΤ هست که T اینجا پریود زمانی مون هست که میشه توسط اوسیلوسکوپ بدستش آورد
پس ما اینجا در نهایت برای بدست آوردن هارمونیک های ساده و فرکانس های اصلی مون که همون نواک هامون میشن نیاز داریم رابطه ای بر حسب x,t بدست بیاریم، که به شکل زیر بدست میان
با بدست آوردن جواب هارمونیک ساده مون عملا یک گام دیگه به خود گام موسیقی نزدیک شدیم
اما برای اینکه بتونیم معادلات مون رو به جواب مشخص برسونیم نیاز داریم همونطور که قبلا گفتم ببریمش به فضای مختلط، چون اونجا میتونیم این ترکیب سینوس و کو سینوس ها رو با استفاده از معادله اویلر کمی ساده تر کنیم و تو حلش از ترفند کارآمد تری استفاده کنیم پس نتایج بدست اومده رو به شکل مختلط تبدیل میکنیم
