مفاهيم اوليــه در سيستمــهاي ديناميكي غـيرخطــي:
وقتي ابعاد فضاي فاز از n =1 افزايش مييابد، در هر مرحله پديدههاي جديدي اتفاق ميافتد از جمله اين كه: نقاط ثابت در سيستمهاي يك بعدي (n =1)، دو شاخه شدن و حلقههاي محدود در سيستمهاي دو بعدي (n =2) و آشوب در سيستمهاي سه بعدي (n =3). اين مفاهيم در ادامه مورد بررسي قرار ميگيرند:
1- نقــاط ثابت (Fixed points): نقاط ثابت در بررسي رفتار نگاشتها از اهميت خاصي برخوردار است و براساس آن مي توان نحوه تحول سيستم را درك كرد. در تعريف نقطه ثابت ميتوان گفت كه: «هر نقطه از مدار يك نگاشت كه شرط زير در آن صدق كند نقطه ثابت مدار به شمار ميآيد: F(x*) = x* ». از ديد هندسي نيز به اين طريق ميتوان نقطه ثابت را توصيف كرد كه: «نقطه ثابت نقطهاي است كه از تقاطع خط y = x و منحنيy = F(x) به وجود ميآيد». به عنوان مثال، در نگاشت لجستيك براي به دست آوردن نقاط ثابت با توجه به معادله F(x*) = x* بدين صورت عمل ميشود:
x* = r x* (1 – x*)
1. اگر:|F'(x*)| < 1 باشد در اين صورت گويند نقطه x* از پايداري خطي(Stable fixed point) برخوردار است.اين نقاط را نقاط جاذب(Attractor) يا چاهك(Sink) نيز مينامند.
2. اگر:|F'(x*)| > 1 باشد در اين صورت نقطه x* ناپايدار(Unstable fixed point) است.به نقاط ثابت ناپايدار، نقاط دافع(Repeller) يا چشمه(Sources) نيز ميگويند.
3. اگر:|F'(x*)| = 1 باشد گويند نقطه x* ، نقطه ثابت حاشيهاي (Marginal) يا نيمه پايدار(Half-stable fixed point) ميباشد.
4. نقاطي كه در آنها شرط |F'(x*)| = 0 برقرار باشد، نقاط فوق پايدار(Super stable) ناميده ميشوند.
2- دوشــاخه شدگي (Bifurcation): در سيستمهاي ديناميكي، نقاط ثابت ميتوانند خلق يا نابود شوند يا پايداري آنها تغيير كند يعني تغيير ماهيت داده و از نوع جاذب به دافع ويا برعكس تبديل شوند. شروع تغييرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگي گفته ميشود. گذار به حالت دوشاخه شدگي با تغيير كميتي به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگي(Bifurcation control parameter) صورت ميگيرد.
براي ارائه مطالب كلي در مورد دوشاخه شدگي ميتوان گفت كه: اگر با تغيير پارامتر دوشاخه شدگي، ساختار هندسي فضاي فاز دستخوش تغيير شود در اين صورت دوشاخه شدگي رخ داده است. پارامتر كنترل مي تواند مثبت، منفي يا صفر باشد. تغيير رفتار سيستمهاي ديناميكي را مي توان در سه گروه طبقه بندي كرد:
الف - دوشاخه شدگي زيني(Saddle – Node): اين نوع دوشاخه شدگي به وسيله خلق يا نابودي نقاط ثابت معلوم ميگردد و در نگاشتهايي كه از يكي از ضابطههاي زير تبعيت ميكنند رخ ميدهد: dx/dt = r + x2 , dx/dt = r – x2 .
نمودار براي معادله اول:
file:///C:/DOCUME%7E1/masoud/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif
ب - دوشاخه شدگي گذار بحراني(Transcritical): در اين نوع دوشاخه شدگي هرگز شاهد خلق يا نابودي نقاط ثابت نبوده بلكه با تغيير پارامتر كنترل، فقط نوع پايداري آنها تغيير ميكند. شكل كلي سيستمهاي ديناميكي كه از اين نوع دوشاخه شدگي تابعيت ميكنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x2
file:///C:/DOCUME%7E1/masoud/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif
ج - دوشاخه شدگي چنگالي(Pitchfork): اين نوع دوشاخه شدن در مسائل فيزيكي كه داراي تقارن هستند، معمول ميباشد (براي مثال، در بسياري از مسائل فيزيكي يك تقارن فضايي بين چپ و راست وجود دارد). اين حالت داراي معادلهاي به يكي از دو صورت زير است:
a - حالت اول، دوشاخه شدگي چنگالي خيلي بحراني(Supercritical pitchfork) ناميده شده و با معادله dx/dt = r x – x3 نشان داده ميشود.اين معادله تحت تبديل x → -x ناوردا ميباشد. اين ناوردايي، بيان رياضي تقارن چپ و راست است كه قبلا به آن اشاره شد.
b - حالت دوم، دوشاخه شدگي چنگالي زير بحراني(Subcritical pitchfork) بوده و با معادله dx/dt = r x + x3 مشخص ميگردد.
file:///C:/DOCUME%7E1/masoud/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif
3- حلقــههاي محدود (Limit cycles): يك مسير بسته در فضاي فاز كه در نزديكي آن هيچ مسير بسته ديگري شكل نگرفته باشد، حلقههاي محدود گفته ميشود. مسيرهاي مجاور به حلقههاي محدود، يا به آنها ختم ميشوند كه در اين صورت به آنها جاذب يا پايدار گويند و يا از آنها دور ميگردند كه آنها را ناپايدار مينامند و در شرايط خاصي نيز به حلقههاي محدود، نيمه پايدار (Half-stable) گفته ميشود.
حلقههاي محدود پايدار بسيار مهم هستند زيرا آنها سيستمهايي را تشكيل ميدهند كه اين سيستمها حتي در غياب نيروي خارجي پريوديك نيز نوسان ميكنند، مانند: ضربان قلب، سيستم دماي بدن انسان و ....
حلقههاي محدود در سيستمهاي غيرخطي دوبعدي شكل ميگيرند و نميتوان شاهد تشكيل آنها در سيستمهاي خطي بود. حلقههاي محدود منحصر بفرد هستند و هر زمان در يك فضاي فاز شكل بگيرند، در آن سيستم، آشوب ديده نخواهد شد. البته در سيستمهاي خطي نيز مسيرهاي بسته شكل ميگيرند اما اين مسيرها منحصر بفرد نيستند.
معمولا مشخص كردن حلقههاي محدود وابسته به يك سيستم كار سادهاي نيست و زماني كه شرايط خاصي بر سيستم حاكم باشد، حلقههاي محدود تشكيل نخواهند شد. براي مثال، در سيستمهاي گرادياني كه بتوان در آنها رابطهاي مانند رابطه dx/dt = -VV تشكيل داد، نميتوان شاهد تشكيل حلقههاي محدود بود. V، تابع پتانسيل منحصر بفرد در سيستم است. هم چنين، به سيستمهايي كه بتوان تابع لياپانوف(Lyapunov) نسبت داد نيز نميتوان شاهد تشكيل حلقههاي محدود بود.
وقتي ابعاد فضاي فاز از n =1 افزايش مييابد، در هر مرحله پديدههاي جديدي اتفاق ميافتد از جمله اين كه: نقاط ثابت در سيستمهاي يك بعدي (n =1)، دو شاخه شدن و حلقههاي محدود در سيستمهاي دو بعدي (n =2) و آشوب در سيستمهاي سه بعدي (n =3). اين مفاهيم در ادامه مورد بررسي قرار ميگيرند:
1- نقــاط ثابت (Fixed points): نقاط ثابت در بررسي رفتار نگاشتها از اهميت خاصي برخوردار است و براساس آن مي توان نحوه تحول سيستم را درك كرد. در تعريف نقطه ثابت ميتوان گفت كه: «هر نقطه از مدار يك نگاشت كه شرط زير در آن صدق كند نقطه ثابت مدار به شمار ميآيد: F(x*) = x* ». از ديد هندسي نيز به اين طريق ميتوان نقطه ثابت را توصيف كرد كه: «نقطه ثابت نقطهاي است كه از تقاطع خط y = x و منحنيy = F(x) به وجود ميآيد». به عنوان مثال، در نگاشت لجستيك براي به دست آوردن نقاط ثابت با توجه به معادله F(x*) = x* بدين صورت عمل ميشود:
x* = r x* (1 – x*)
با تعيين ريشههاي معادله ميتوان دريافت كه نقاط ثابت نگاشت لجستيك عبارتند از: x* = 0 , x* = 1 – (1/r) .
نقاط ثابت براساس پايداري آنها به چهار گروه تقسيم ميشوند:1. اگر:|F'(x*)| < 1 باشد در اين صورت گويند نقطه x* از پايداري خطي(Stable fixed point) برخوردار است.اين نقاط را نقاط جاذب(Attractor) يا چاهك(Sink) نيز مينامند.
2. اگر:|F'(x*)| > 1 باشد در اين صورت نقطه x* ناپايدار(Unstable fixed point) است.به نقاط ثابت ناپايدار، نقاط دافع(Repeller) يا چشمه(Sources) نيز ميگويند.
3. اگر:|F'(x*)| = 1 باشد گويند نقطه x* ، نقطه ثابت حاشيهاي (Marginal) يا نيمه پايدار(Half-stable fixed point) ميباشد.
4. نقاطي كه در آنها شرط |F'(x*)| = 0 برقرار باشد، نقاط فوق پايدار(Super stable) ناميده ميشوند.
2- دوشــاخه شدگي (Bifurcation): در سيستمهاي ديناميكي، نقاط ثابت ميتوانند خلق يا نابود شوند يا پايداري آنها تغيير كند يعني تغيير ماهيت داده و از نوع جاذب به دافع ويا برعكس تبديل شوند. شروع تغييرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگي گفته ميشود. گذار به حالت دوشاخه شدگي با تغيير كميتي به نام پارامتر كنترل دوشاخه شدگي(Bifurcation control parameter) صورت ميگيرد.
براي ارائه مطالب كلي در مورد دوشاخه شدگي ميتوان گفت كه: اگر با تغيير پارامتر دوشاخه شدگي، ساختار هندسي فضاي فاز دستخوش تغيير شود در اين صورت دوشاخه شدگي رخ داده است. پارامتر كنترل مي تواند مثبت، منفي يا صفر باشد. تغيير رفتار سيستمهاي ديناميكي را مي توان در سه گروه طبقه بندي كرد:
الف - دوشاخه شدگي زيني(Saddle – Node): اين نوع دوشاخه شدگي به وسيله خلق يا نابودي نقاط ثابت معلوم ميگردد و در نگاشتهايي كه از يكي از ضابطههاي زير تبعيت ميكنند رخ ميدهد: dx/dt = r + x2 , dx/dt = r – x2 .
نمودار براي معادله اول:
file:///C:/DOCUME%7E1/masoud/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif
ب - دوشاخه شدگي گذار بحراني(Transcritical): در اين نوع دوشاخه شدگي هرگز شاهد خلق يا نابودي نقاط ثابت نبوده بلكه با تغيير پارامتر كنترل، فقط نوع پايداري آنها تغيير ميكند. شكل كلي سيستمهاي ديناميكي كه از اين نوع دوشاخه شدگي تابعيت ميكنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x2
file:///C:/DOCUME%7E1/masoud/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif
ج - دوشاخه شدگي چنگالي(Pitchfork): اين نوع دوشاخه شدن در مسائل فيزيكي كه داراي تقارن هستند، معمول ميباشد (براي مثال، در بسياري از مسائل فيزيكي يك تقارن فضايي بين چپ و راست وجود دارد). اين حالت داراي معادلهاي به يكي از دو صورت زير است:
a - حالت اول، دوشاخه شدگي چنگالي خيلي بحراني(Supercritical pitchfork) ناميده شده و با معادله dx/dt = r x – x3 نشان داده ميشود.اين معادله تحت تبديل x → -x ناوردا ميباشد. اين ناوردايي، بيان رياضي تقارن چپ و راست است كه قبلا به آن اشاره شد.
b - حالت دوم، دوشاخه شدگي چنگالي زير بحراني(Subcritical pitchfork) بوده و با معادله dx/dt = r x + x3 مشخص ميگردد.
file:///C:/DOCUME%7E1/masoud/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif
3- حلقــههاي محدود (Limit cycles): يك مسير بسته در فضاي فاز كه در نزديكي آن هيچ مسير بسته ديگري شكل نگرفته باشد، حلقههاي محدود گفته ميشود. مسيرهاي مجاور به حلقههاي محدود، يا به آنها ختم ميشوند كه در اين صورت به آنها جاذب يا پايدار گويند و يا از آنها دور ميگردند كه آنها را ناپايدار مينامند و در شرايط خاصي نيز به حلقههاي محدود، نيمه پايدار (Half-stable) گفته ميشود.
حلقههاي محدود پايدار بسيار مهم هستند زيرا آنها سيستمهايي را تشكيل ميدهند كه اين سيستمها حتي در غياب نيروي خارجي پريوديك نيز نوسان ميكنند، مانند: ضربان قلب، سيستم دماي بدن انسان و ....
حلقههاي محدود در سيستمهاي غيرخطي دوبعدي شكل ميگيرند و نميتوان شاهد تشكيل آنها در سيستمهاي خطي بود. حلقههاي محدود منحصر بفرد هستند و هر زمان در يك فضاي فاز شكل بگيرند، در آن سيستم، آشوب ديده نخواهد شد. البته در سيستمهاي خطي نيز مسيرهاي بسته شكل ميگيرند اما اين مسيرها منحصر بفرد نيستند.
معمولا مشخص كردن حلقههاي محدود وابسته به يك سيستم كار سادهاي نيست و زماني كه شرايط خاصي بر سيستم حاكم باشد، حلقههاي محدود تشكيل نخواهند شد. براي مثال، در سيستمهاي گرادياني كه بتوان در آنها رابطهاي مانند رابطه dx/dt = -VV تشكيل داد، نميتوان شاهد تشكيل حلقههاي محدود بود. V، تابع پتانسيل منحصر بفرد در سيستم است. هم چنين، به سيستمهايي كه بتوان تابع لياپانوف(Lyapunov) نسبت داد نيز نميتوان شاهد تشكيل حلقههاي محدود بود.
