هندسه فراکتال
هندسه فراکتال
واژه فراكتال مشتق از واژه لاتيني فراكتوس- به معني سنگي كه به شكل نامنظم شكسته خرد شده است- در سال 1975 براي اولين بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراكتال ها شكل هايي هستند كه بر خلاف شكل هاي هندسي اقليدسي به هيچ وجه منظم نيستند. اين شكل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانياً ميزان بي نظمي آنها در همه مقياسها يكسان است.
با ملاحظه اشكال موجود در طبيعت، مشخص مي شود كه هندسه اقليدسي قادر به تبيين و تشريح اشكال پيچيده و ظاهراً بي نظم طبيعي نيست.
مندل بروت در سال 1975 اعلام كرده كه ابرها به صورت كره نيستند، كوهها همانند مخروط نمي باشند، سواحل دريا دايره شكل نيستند، پوست درخت صاف نيست و صاعقه بصورت خط مستقيم حركت نمي كند.
جسم فراكتال از دور ونزديك يكسان ديده مي شود. به تعبيير ديگر خودمتشابه است.
وقتي كه به يك جسم فراكتال نزديك مي شويم، مي بينيم كه تكه هاي كوچكي از آن كه از دور همچون دانه ها بي شكلي به نظر مي رسيد، بصورت جسم مشخص در مي آيد كه شكلش كم و بيش مثل همان شكلي است كه از دور ديده مي شود. در طبيعت نمونه هاي فراواني از فراكتال ها ديده مي شود. درختان ، ابرها، كوهها، رودها، لبه سواحل دريا، و گل كلم ها اجسام فراكتال هستند بخش كوچكي از يك درخت كه شاخه آن باشد شباهت به كل درخت دارد. اين مثال را مي توان در مورد ابرها، گل كلم، صاعقه و ساير اجسام فراكتال عنوان نمود.
بسياري از عناصر مصنوع دست بشر نيز بصورت فراكتال مي باشند. تراشه هاي سليكان، منحني نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپينسكي را مي توان در اين مورد مثال زد.
در علم رياضي فراكتال يك شكل مهندسي است كه پيچيده است وداراي جزئيات مشابه در ساختار خود در هر مقياسي است.
ميزان بي نظمي در آن از دور و نزديك به يك ميزان است. مثلث سرپينسكي يك مثلث متساوي الاضلاع است كه نقاط وسط سرضلع آن به يكديگر متصل شده اند. اگر اين عمل در داخل مثلث هاي متساوي الاضلاع جديد تا بي نهايت ادامه يابد، همواره مثلث هايي حاصل مي شوند كه مشابه مثلث اول هستند.
( وحید قباديان، مباني و مفاهيم در معماري معاصر غرب صص 166-167)
تعریف فراکتال
هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .
این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.
فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است . اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین 23/1-34/11 دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند.
فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .
فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است .
Benoît B. Mandelbrot (born 20 November 1924) is a French mathematician, best known as the father of fractal geometry. He is Sterling Professor of Mathematical Sciences, Emeritus at Yale University; IBM Fellow Emeritus at the Thomas J. Watson Research Center; and Battelle Fellow at the Pacific Northwest National Laboratory. He was born in Poland. His family moved to France when he was a child, and he was educated in France. He is a dual French and American citizen. Mandelbrot now lives and works in the United States.
موزه گوگنهايم در بيلبائو
فرکتال (برخال) چیست؟
ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین ، ساحل دريا و …
حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که میتوان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتالها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهیم بترسانیمتان می‌توانیم بگوییم که هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت میکند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان میدهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش.
واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد.
اگر بخواهيم از ديد كلي به بحث فركتال نگاه كنيم آن را مي توان به 3 دسته تقسيم بندي كرد :
1- هندسه فركتال : در اين قسمت از ديد رياضي به فركتال نگاه مي شود كه بيشتر مورد توجه رياضي دان ها قرار گرفته اما پايه هاي قسمت هاي بعدي نيز مي باشد ، و تا با عناصر اصلي فركتال و چگونگي ايجاد اين فرم آشنا نشويم نمي توان فرم هاي مختلف و حجم هاي مختلف را شناسايي كرد.
2- فرم فركتال : قسمت دوم اين مقاله است ، با توجه به اينكه ،محصول هندسه فركتال فرمي است كه دقيقاً آن مشخصه هاي هندسي مربوطه را دارد . در اين بخش فرم هايي همچون فرم هاي درخت ، فرم هاي مندلبرت ، فرمهاي موجود در طبيعت ، ايجاد فرم هاي رندوم (Random fractal) ، خود متشابهي (self similarity) ، فركتال در نقاشي ( آثار نقاشاني چون جكسون پالاك ) و … مورد بررسي قرار خواهد گرفت .
3- حجم فركتال (فركتال در معماري): نتيجه فرم هاي مختلف مي تواند به يك اثر معماري منتج شود لذا در اين بخش حجم هاي فركتالي و آثار معماري مطرح مي شود .
اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه بسيار جالب است. با كمي دقت به اطراف خود، مي توان بسياري از اين اشكال را يافت. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و حتي مي توان از اين هم فراتر رفت : سطح كره ماه ، منظومه شمسي و ستارگان .
البته در بخش فرم هاي فركتال اين موضوع بيشتر مشهود است به طوري كه بسياري از فرمهاي خلقت داراي ساختاري فركتال هستند .
اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نيز نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي می کنند.
فركتال از منظر هندسي
هندسه فرکتالي يا هندسه فرکتال ها پديده ايست که چندي پيش پا به دنياي رياضيات گذاشت.
واژه فرکتال در سال 1976 توسط رياضيدان لهستاني به نام بنوئيت مندلبرات وارد دنياي رياضيات شد.
او در سال 1987 پرفسوري خود را در رشته رياضيات گرفت.
مندلبرات وقتي که بر روي تحقيقي پيرامون طول سواحل انگليس مطالعه مي نمود به اين نتيجه رسيد که هر گاه با مقياس بزرگ اين طول اندازه گرفته شود بيشتر از زماني است که مقياس کوچکتر باشد.
از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتين fractus يا fractum (به معني شکسته ) گرفت تا بر ماهيت قطعه قطعه شونده كه يكي از مشخصه هاي اصلي اين فرم است ،تاکيد داشته باشد .
فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصويب کرده و همچنين براي واژه فرکتالي واژه برخالي را تصويب کرده است.
واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد.
اما در هندسه :
فرکتال از ديد هندسي به شيئي گويند که داراي سه ويژگي زير باشد:
1-اول اينکه داراي خاصيت خود متشابهي باشد يا به تعبير ديگر self-similar باشد.
2-در مقياس خرد بسيار پيچيده باشد.
3-بعد آن يك عدد صحيح نباشد (مثلاً 1.5).
براي درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسي ، بد نيست نمونه اي كه شايد تا كنون با آن برخورد كرده باشيد مطرح شود :
تصوير بالا ( يك كبوتر ) يك فرم هندسي است كه دقيقاً با تعاريفي كه در تعريف فركتال بيان شد، منطبق است يعني هم داراي خاصيت خود متشابهي و پيچيدگي در مقياس خرد و نيز عدم داشتن بعد صحيح . تصوير بالا داراي بعدي بين عدد 2 و 3 است.
حال به بررسي هر يك در زير پرداخته شده :
خاصيت خود متشابهي فرکتا لها
شيئي را داراي خاصيت خود متشابهي مي گوييم: هر گاه قسمت هايي از آن با يك مقياس معلوم ، يك نمونه از كل شيئي باشد.
ساده ترين مثال براي يك شيئ خود متشابه در طبيعت گل كلم است كه هر قطعه‌ي كوچك گل كلم متشابه قطعه بزرگي از آن است .
همين طور درخت كاج يك شيئ خود متشابه است ،چرا كه هر يك از شاخه هاي آن خيلي شبيه يك درخت كاج است ولي در مقياس بسيار كوچكتر .همچنين در مورد برگ سرخس نيز چنين خاصيتي وجود دارد.
رشته كوه ها ، پشته هاي ابر ، مسير رودخانه ها و خطوط ساحلي نيز همگي مثال‌ها‌يي از يك ساختمان خود متشابه هستند.
نمونه ای از خود متشابهي در شكل زير نیز ديده مي شود.
فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است .
واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نا منظم شکسته و خرد شده .این واژه برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد .
جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود .مثلا وقتی به یک کوه نگاه می کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه های یک درخت شبیه خود درخت هستند .البته در طبیعت نمونه های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است .و اگر به ساخته های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند . و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند .گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.
خصوصيات اشکال فرکتال
- اشکال اقليدسي با استفاده از توابع ايستا توليد مي شوند ولي اشکال فرکتال با فرآيندهاي پويا توليد مي شوند.( فرآيندهاي پويا, فرآيندهايي هستند که داراي حافظه مي باشند و رفتار آنها به گذشته بستگي دارد.)
- اشکال فرکتال داراي خاصيت خود همانندي است. طول اين اشيا بي نهايت است که در فضاي محدود, محصور شده اند.
- مجموعه هاي فرکتال, از زير مجموعه هايي تشکيل شده اند که اين زير مجموعه ها شبيه مجموعه هاي بزرگتر هستند.
- هندسه فرکتال داراي ساختارهاي ظرفيتي بالاست ولي ظرفيت اطلاعاتي اشياي اقليدسي بسيار محدود و حاوي اطلاعات تکراري است.
- هندسه فرکتال, بيان رياضي از معماري طبيعت است.
- هر فرآيند تکراري و پويا باعث ايجاد ساختارهاي پيچيده فرکتال نمي شود. مکانيزم توليد چنين ساختارهاي پويايي, آشوب است. در حقيقت, فرکتال تصوير رياضي از آشوب است.
رابطه فراکتال و معماري
مطالعه هندسه بايد به طراح کمک کند به درک بهتري از جريان جزئيات در پيرامون ما و جهان طبيعي دست يابد.
خصوصيت فراکتالي يک ترکيب معماري در تسلسل جالب جزئيات است. اين تسلسل براي حفظ جذابيت معماري لازم است. هنگامي که شخص به يک ساختمان نزديک و سپس به آن وارد مي شود هميشه بايد مقياس کوچکتر ديگري همراه با جزئيات جذاب وجود داشته باشد تا معناي کلي ترکيب را بيان کند که اين يک ايده فراکتال است.
انسانها در روزگار قديم که در طبيعت مي زيستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبيعت بيگانه نبودند, معماريشان با نظم طبيعت بود. آنها به اين دليل که در طبيعت رشد ميافتند, ضمير ناخودآگاهشان نيز با نظم طبيعت- يعني با نظم فراکتال- رشد ميافت, در نتيجه مصنوعاتش نيز داراي نطم فراکتال مي بود.
فراکتال در معماري معاصر
به دنبال بيگانگي انسان معاصر با طبيعت و دور شدن ساخته هايش از تشابه با ساختارهاي طبيعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبيعت در آثارشان هستند. هر چند که اين هنوز آغاز راه است ولي ارتباطي جديدي در زمينه طبيعت و معماري معاصر را نشان ميدهد. ارتباطي که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.
فرانک لوید رایت (1869_1956): وی مفاهیم را در جهت تصریح روابط میان طبیعت و معماری گسترش داد و به وضع دستور العمل هایی در خصوص چگونگی ساخت فضاهای داخلی و خارجی بنا و استفاده از مصالح ساختمانی سازگار با طبیعت پیرامون پرداخت.
آنتونی گادی (1852_1926): اولین فردی که طرح این شیوه ساخت و ساز را با ارائه صورت ساخته شده بنا بیان کرد و بر چگونگی ساختمان سازی بدین شیوه تاکید داشت . وی در اواخر عمرش معماری هندسی طبیعی را با ساخت دو فضای قوس دار در کلیسای "سگرادا فامیلی" متحول ساخت.
رادولف استینر (1861_1925): وی اصول این سبک متحول شده معماری را بیان کرد. این اصول شامل طبیعت ، فرهنگ و شعور بشر است. 
کاخ اعیانی نوتری تالار فنلاند سالن کنسرت سمفونی
