عدد بی بعد ( Dimensionless Number ) - از تعاریف تا کاربرد مهندسی - آنالیز ابعادی

lord aragon

عضو جدید
کاربر ممتاز
Eötvös number

Eötvös number

In fluid dynamics the Eötvös number (Eo) is a dimensionless number named after Hungarian physicist Loránd Eötvös (1848–1919).[SUP][1][/SUP][SUP][2][/SUP] It is also known in a slightly different form as the Bond number (Bo),[SUP][2][/SUP][SUP][3][/SUP][SUP][4][/SUP] named after the English physicist Wilfrid Noel Bond (1897–1937).[SUP][3][/SUP][SUP][5][/SUP] The term Eötvös number is more frequently used in Europe, while Bond number is commonly used in other parts of the world.[SUP][citation needed][/SUP]Together with Morton number it can be used to characterize the shape of bubbles or drops moving in a surrounding fluid. Eötvös number may be regarded as proportional to buoyancy force divided by surface tension force.

 

lord aragon

عضو جدید
کاربر ممتاز
تحلیل ابعادی

تحلیل ابعادی

در قوانین تحلیل ابعادی ذکر شده است که رابطه‌ای که از لحاظ ابعادی هم‌خوانی نداشته‌باشد لزوما غلط است.[SUP][۱][/SUP] برای تحلیل ابعادی از چهار مقدار [M] برای جرم، [L] برای طول، [T] برای زمان و [K] برای دمااست.[SUP][۲][/SUP] و از مهم‌ترین نظریه‌های آن نظریه پی باکینگهام است.[SUP][۳][/SUP]
محتویات

[نهفتن]


دیمانسیون یا تحلیل ابعادی[ویرایش]

به هر کمیتی که می سنجیم یا محاسبه می کنیم، معمولاً بعدی وابسته است، مثلاً مقدار جذب صوت در یک محیط بسته و احتمال وقوع واکنش‌های هسته‌ای، هر دو بعد مساحت دارند . هر کمیت را می‌توان بر حسب یکاهای متفاوتی بیان کرد، اما این کار بعد کمیت را عوض نمی‌کند؛ مساحت را چه بر حسب
بین کنند، چه بر حسب
، چه بر حسب هکتار، چه بر حسب سابین ( برای جذب صوت )، و چه بر حسب بارن ( برای واکنشهای هسته ای ) به هر حال مساحت است و بعد مساحت دارد . با توجه به کمیت‌های بنیادی ( مثل طول، زمان و ... ) می‌توانیم مجموعه‌ای از ابعاد بنیادی را بر اساس استانداردهای مستقل، انتخاب کنیم . در میان کمیت‌های مکانیکی، جرم، طول، زمان، شدت روشنایی( در SI بر حسب شمع)، مقدار ماده(در SI بر حسب مول)، شدت جریان الکتریکی(در SIبر حسب آمپر)، بنیادی و مستقل از یکدیگرند و کمیت‌های دیگر را می‌توان بر حسب آنها بیان کرد . پس اینها را به عنوان ابعاد بنیادی می گیریم و به ترتیب با M ، L ، T نشان می دهیم . باید توجه داشت که برای نشان دادن دیمانسیون هر کمیتی آن را در علامت [ ] قرار می‌دهند و دیمانسیون ( ابعاد بنیادی ) را با حروف بزرگ نشان می‌دهند . در هر معادله‌ای باید بعد کمیت‌های دو طرف معادله یکسان باشد . در خیلی از موارد توجه به بعد کمیت‌ها می‌تواند جلوی اشتباه را بگیرد .
تحلیل ابعادی در مکانیک سیالات :[ویرایش]

تحلیل ابعادی به کمک نوعی فشرده کردن، به رفع پیچیدگی و کاستن از تعداد متغیرهای تجربی موثر روی یک پدیده معین فیزیکی منجر میشود. اگر پدیده ای به nمتغیر با بعد بستگی داشته باشد، تحلیل ابعادی تعداد متغیرها را به kمتغیر بی بعد کاهش میدهد، که این کاهش به پیچیدگی مسئله بستگی دارد. به طور کلی
برابر تعداد ابعاد مختلف حاضر در مسئله است که گاهی ابعاد پایه، اولیه یا اساسی نامیده میشوند. در مکانیک سیالات معمولاً چهار بعد اصلی، عبارتند از:

  • جرم(M)
  • طول(L)
  • زمان(T)
  • درجه حرارت(Ө)
یک نکته :
ضریب گرمای مقاومت، اختلاف فاز، شدت نسبی احساس صوت، عدد رینولدز، عدد ماخ و ضریب اتمیسیته گاز دیمانسیون ندارند .
مزایای تحلیل ابعادی:

گرچه هدف تحلیل ابعادی، کاهش متغیرها و گروه بندی آنها به صورت بی بعد است؛ اما مزایای جنبی زیادی نیز در بر دارد:
الف) اولین مزیت تحلیل ابعادی صرفه جویی در وقت و پول است. فرض کنید میدانیم که نیروی F روی یک جسم مشخص شناور در جریان یک سیال، فقط به طول جسم(L)، سرعت جریان(V)، جرم مخصوص(ρ)، لزجت سیال(µ) بستگی دارد.

اگر شکل هندسی و شرایط جریان به قدری پیچیده باشندکه تئوریهای انتگرالی و دیفرانسیلی قادر به یافتن نیرو نباشند، آنگاه باید F را به صورت تجربی بیابیم. اگر برای تعریف یک منحنی نیاز به ۱۰ نقطهٔ تجربی باشد. برای مثال باید به ازای ۱۰ طول مختلف ۱۰ آزمایش انجام داد. سپس به ازای هر طول معین و در کل
آزمایش انجام داد. که نیازمند صرف هزینه و وقت بسیار است. اما با استفاده از روش تحلیل ابعادی معادلهٔ نیرو به صورت زیر ساده میشود:

که در آن ضریب بی بعد نیرو فقط تابعی از عدد رینولدز است. به این صورت با انجام تنها ۱۰ آزمایش به ازای تغییرات عدد رینولدز میتوان به نتیجهٔ مشابه حاصل از ۱۰۰۰۰ آزمایش به صورت عادی رسید.
ب)دومین مزیت تحلیل ابعادی این است که ما را در تعمق برای طرح ریزی یک آزمایش یا تئوری یاری میکند. تحلیل ابعادی گاهی بعضی از متغیرها را کنار میگذارد و گاهی متغیرهایی را که با چند آزمایش ساده، بی اهمیت بودن آنها روشن شده است، گردآوری و گروه بندی میکند.
ج)سومین مزیت تحلیل ابعادی این است که به کمک قوانین تشابه حاصل از تحلیل ابعادی، میتوان داده‌های مربوط به یک مدل کوچک و ارزان قیمت را به داده‌های طراحی یک نمونه واقعی تبدیل کرد. هنگامی که امکان استفاده از قانون تشابه فراهم است، گفته می‌شود که شرایط تشابه بین مدل و نمونه واقعی برقرار است. برای نمونه در مورد مثال فوق اگر عددهای رینولدز مدل و نمونه واقعی برابر باشند تشابه کامل برقرار است.

که اندیس‌های m و p به ترتیب نشانهٔ مدل و نمونهٔ واقعی هستند. پس با استفاده از تشابه داریم:

پس به سادگی با اندازه گیری نیروی مدل در یک عدد رینولدز، نیروی نمونه واقعی در همان عدد رینولدز بدست می آید.
قضیه پی باکینگهام:

این قضیه را برای اولین بار پای بوکینگهام در سال ۱۹۱۴ پیشنهاد کرد. نام پای از نماد ریاضی π به معنای حاصلضرب متغیرها گرفته شده است.گروه‌های بی بعد یافته شده توسط این روش حاصلضرب هایی توانی هستند. در این روش میتوان πها را بدون اجبار به تعریف جداگانه آنها، سلسله وار پیدا کرد.
این قضیه شامل دو بخش است :
۱) بخش اول بیانگر کاهش مورد انتظار در تعداد متغیرهاست:
اگر یک تحول فیزیکی اصل همگنی ابعادی را براورده کند و شامل nمتغیر ابعادی باشد، میتوان آن رابه یک رابطه بین تنهاr یا π متغیر بی بعد کاهش داد. کاهش p=n-r، معادل حداکثر تعداد متغیرهایی است که بین خود π تشکیل نمیدهند و همیشه کمتر یا مساوی تعداد ابعاد بیان کننده متغیرها خواهد بود.
۲) بخش دوم قضیه، چگونگی یافتن همزمان πها را نشان میدهد:
کاهش میزان p را بیابید، آنگاه p متغیر را بگونه ای انتخاب کنید که π حاصل از آنها بین خودشان یکسان نباشد. در هر گروه π دلخواه، باید حاصلضرب توانی این p متغیر بعلاوه یک متغیر اضافی با هر توان مناسب غیر صفر باشد. بنابراین، هر گروه π یافت شده مستقل خواهد بود.

با یک مثال نحوهٔ استفاده از این روش را واضحتر میکنیم:
فرض کنید در آزمایشی نیروی F، تابعی از چگالی، ویسکزیته، طول و سرعت باشد. داریم :

حال ماتریس ابعادی را تشکیل میدهیم:

حال میدانیم که r=3 متغیر تکرار شونده داریم. این متغیرها را باید طوری انتخاب کنیم که در ماتریس ابعادی سه در سه آنها هیچ سطری صفر نباشد. در اینجا سه متغیر ρ،L،V را انتخاب میکنیم. ابتدا µ،ρ،L،V را در نظر گرفته و مینویسیم:

حال F، ρ،L،V را در نظر میگیریم و مینویسیم :

حال میتوان نوشت :

جدول ابعاد مربوط به مکانیک سیالات :


منابع :


  • Fluid Mechanics ، By : White،Frank.M
  • فیزیک ۱ ( جلد اول )، تألیف رابرت رزنیک، دیوید هالیدی و کنت اس . کرین، ترجمهٔ دکتر جلال الدین پاشایی راد، دکتر محمد خرمی و محمد رضا بهاری، نشر دانشگاهی ، ۱۳۸۱ ، ISBN ۹۶۴-۰۱-۱۰۹۲-۲
  • دانشنامهٔ رشد

  • مکانیک سیالات نوشته ای.راتاکریشنان ترجمه محسن جهان‌میری
  • فیزیک پایه جلد اول نوشته فرانک جی بلت
  • مکانیک سیالات نوشته شیمز ترجمه علیرضا انتظاری

==============================================
http://en.wikipedia.org/wiki/Dimensional_analysis
 

lord aragon

عضو جدید
کاربر ممتاز
عدد دوخین

عدد دوخین

عدد دوخین


عدد دوخین(به انگلیسی: Dukhin number)‏ عددی بدون بعد است که ارتباط رسانایی سطح را با خواص الکتروآکوستیک،الکتروسینتیک و همچنین تراوایی و رسانایی سیال بررسی می‌کند.
تعریف

در این رابطه:

  • رسانایی سطحی
  • K[SUB]m[/SUB] رسانایی توده سیال
  • a اندازه ذرات
===============================
http://en.wikipedia.org/wiki/Dukhin_number
 

lord aragon

عضو جدید
کاربر ممتاز
عدد ومرسلی

عدد ومرسلی

[h=1]عدد ومرسلی[/h]

عدد ومرسلی(به انگلیسی: Womersley number)‏ یک عدد بی بعد است که در مکانیک بیوسیالات نشان دهنده ی رابطه ی فرکانس جریان ضربانی به ویسکوزیته است.این عدد به افتخار ریاضیدان بریتانیاییجان ومرسلی(به انگلیسی: John Ronald Womersley)‏ نامگذاری شده است.
[h=2]رابطه[ویرایش][/h]

که در این رابطه
مقیاس طول مناسب (به عنوان مثال شعاع لوله)،
فرکانس زاویه ای نوسانات،
ویسکوزیته سینماتیک،
چگالی و
ویسکوزیته دینامیک سیال است.همچنین می توان عدد ومرسلی را از ضرب عدد رینولدز و عدد استروهال به دست آورد:


[h=2]===================[/h]http://en.wikipedia.org/wiki/Womersley_number
 

lord aragon

عضو جدید
کاربر ممتاز
Iribarren number

Iribarren number

Iribarren number



In fluid dynamics, the Iribarren number or Iribarren parameter – also known as the surf similarity parameter and breaker parameter – is a dimensionless parameter used to model several effects of (breaking) surface gravity waves on beaches and coastal structures. The parameter is named after the Spanish engineer Ramón Iribarren Cavanillas (1900–1967),[SUP][1][/SUP] who introduced it to describe the occurrence of wave breaking on sloping beaches.[SUP][2][/SUP]
For instance, the Iribarren number is used to describe breaking wave types on beaches; or wave run-up on – and reflection by – beaches, breakwaters and dikes.[SUP][3][/SUP][SUP][4][/SUP][SUP][5][/SUP]


Definition]

The Iribarren number – often denoted as Ir or ξ – is defined as:[SUP][4][/SUP]


with
where ξ is the Iribarren number, α is the bed slope, H is the wave height, L[SUB]0[/SUB] is the deep-water wavelength, T is the period and g is the gravitational acceleration. Depending on the application, different definitions of H and T are used, for example: for periodic waves the wave height H[SUB]0[/SUB] at deep water or the breaking wave height H[SUB]b[/SUB] at the edge of .the surf zone. Or, for random waves, thesignificant wave height H[SUB]s[/SUB] at a certain location

=======================
http://en.wikipedia.org/wiki/Iribarren_number.

 

lord aragon

عضو جدید
کاربر ممتاز
Sommerfeld number

Sommerfeld number

Sommerfeld number


In the design of fluid bearings, the Sommerfeld number (S), or bearing characteristic number, is a dimensionless quantity used extensively in hydrodynamic lubrication analysis. The Sommerfeld number is very important in lubrication analysis because it contains all the variables normally specified by the designer.
The Sommerfeld number is named after Arnold Sommerfeld (1868–1951)
.



Definition[edit source | editbeta]

The Sommerfeld Number is typically defined by the following equation.[SUP][1][/SUP]
Where:
S is the Sommerfeld Number or bearing characteristic numberr is the shaft radiusc is the radial clearanceµ; is the absolute viscosity of the lubricantN is the speed of the rotating shaft in rev/sP is the load per unit of projected bearing areaHowever, an alternative definition is used in some texts based on angular velocity:[SUP][2][/SUP]
Where:
is angular velocity of the shaft in rad/s.
W is the applied loadL is the bearing lengthD is the bearing diameterIt is therefore necessary to check which definition is being used when referring to design data or textbooks, since the value of S will differ by a factor of 2π.
Derivation[edit source | editbeta]

Petroff's Law[edit source | editbeta]

Petroff's method of lubrication analysis, which assumes a concentric shaft and bearing, was the first to explain the phenomenon of bearing friction. This method, which ultimately produces the equation known as Petroff's Law, is useful because it defines groups of relevant dimensionless parameters, and predicts a fairly accurate coefficient of friction, even when the shaft is not concentric.[SUP][3][/SUP]
Considering a vertical shaft rotating inside a bearing, it can be assumed that the bearing is subjected to a negligible load, the radial clearance space is completely filled with lubricant, and that leakage is negligible. The surface velocity of the shaft is:
, where N is the rotational speed of the shaft in rev/s.

The shear stress in the lubricant can be represented as follows:



Assuming a constant rate of shear,



The torque required to shear the film is

If a small radial load W acts on the shaft and hence the bearing, the frictional drag force can be considered equal to the product fW, with the friction torque represented as
Where
W is the force acting on the bearingP is the radial load per unit of project bearing area (Pressure)f is the coefficient of frictionIf the small radial load W is considered negligible, setting the two expressions for torque equal to one another and solving for the coefficient of friction yields

Which is known as Petroff's Law or the Petroff equation. It provides a quick and simple means of obtaining reasonable estimates of coefficients of friction of lightly loaded bearings.
Sommerfeld Number[edit source | editbeta]

Multiplying both sides of Petroff's Law by the clearance ratio r/c,
Notes


======================================================

http://en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_number
 

lord aragon

عضو جدید
کاربر ممتاز
عدد استوآرت

عدد استوآرت

عدد استوآرت


عدد استوآرت(به انگلیسی: Stuart number)‏ کمیت بدون بعدی است که در دینامیک سیالات کاربرد داشته و به صورت نسبت نیروی الکترومغناطیس به نیروی اینرسی تعریف می شود.[SUP][۱][/SUP]
تعریف


========================================================

http://en.wikipedia.org/wiki/Stuart_number
 

zahra yari

عضو جدید
سلام اقای مهندس، یه سوال، واسه آب چجوری حساب میشه عدد نادسن؟
 

rostamani

عضو جدید
با سلام
من 3 متغیر دارم
یکی غلظت که واحدش میلیگرم بر میلی لیتر (x1)
یکی دبی محلول که واحدش میلی لیتر بر دقیقه (x2)
یکی دبی ضدحلال که واحدش میلی لیتر بر دقیقه(x3)
و پاسخ یا همون y اندازه ذراته که واحدش نانومتره (y)
حالا نیاز به متغیر های بی بعد دارم که طبق قضیه پای باکینگهام باید به دست بیارم
یکیش میشه (x3/x2)
واحد غلظت رو نمیدونم چطور بی بعد کنم و اینکه چند تا متغیر بی بعد مستقل خواهم داشت ؟؟؟
 
بالا